Matematické Fórum

Crashatorr · 30. 05. 2015 12:29

Zdravím, chtěl bych Vás poprosit, zda byste mi někdo mohl trochu detailněji vysvětlit k čemu slouží parametrizace obloukem, popřípadě odkázat na nějaký kvalitní zdroj.
Délka křivky se spočte jako $l=\int_{a}^{b}|\gamma '(t)|dt$
Definovali jsme si oblouk křivky jako funkci $s(t)=\int_{a}^{t}|\gamma '(t^{-})|dt^{-}$ ( t s pruhem )

Pak bylo řečeno že s(t) je rostoucí funkce a s měnícím t měří délku křivky. Nicméně tím, že j e rostoucí, tak k ní existuje fce inverzní a to t(s)
Potom mějme křivku
$\gamma ^{-}=(\gamma _{1}(t(s))),...,\gamma _{m}(t(s)))$
kterou nazveme křivka parametrizovaná obloukem.

Nějaký vzorový příklad
Nechť $\gamma : <0,1> -> \mathbb{R}^{2}$
$\gamma _{1}(t)=t, \gamma _{2}(t)=-\sqrt{1-t^{2}}$
Reparametrizujte křivku obloukem

Potřeboval bych vědět jak vůbec začít a proč je vůbec třeba dělat takovouto repamarametrizaci obloukem

Andrejka3 · 30. 05. 2015 17:12

↑ Crashatorr:
Ahoj. Vypadá to, že tato parametrizace je užitečná. Nechť $A=\gamma (s_1)$ , $B=\gamma(s_2)$ , přičemž $\gamma(s)$ je ta parametrizace obloukem. Jaká je délka oblouku $AB$ ? Tj. délka křivky $\gamma(s), s\in [\min (s_1,s_2),\max(s_1,s_2)]$ ?

Jinak, podle návodu. Spočti fci, která parametru t přiřadí délku oblouku od 0 do t. Tj. $s(t)$ . Pak asi bude třeba invertovat.

Crashatorr · 30. 05. 2015 18:14

↑ Andrejka3:
Jedná se o tento integrál?
$s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{1+\frac{t^{2}}{1-t^{2}}}dt$

Andrejka3

Je $\left|\begin{pmatrix}t\\-\sqrt{1-t^2}\end{pmatrix}' \right|=\left|\begin{pmatrix}1\\ \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\end{pmatrix} \right|=$ ... jo, vychází to tak.

Ještě k té první otázce o významu: Přiložíš krejčovský metr ke křivce, nula je v počátečním bodě a parametrizuješ podle délky.

edit: jen by se měla integrační proměnná značit jinak než mez, ať to není zmatečné

Crashatorr · 30. 05. 2015 18:40

↑ Andrejka3:
Ok, děkuju
Po úpravách dostanu že $s=arcsin(t)$ teď tedy jestli mám udělat inverzi tak $t=sin(s)$
Takkže výsledkem celé úlohy je to, že jsem zadanou křivku reparametrizoval a teď ji můžu napsat ve tvaru
$x=sin(s)$
$y=-cos(s)$
Ano ? Pak mám tedy dotaz, proč je třeba reparametrizace provádět nebo v čem je to výhodnější než ten původní zápis?

Andrejka3 · 30. 05. 2015 18:44

↑ Crashatorr:
Nezapomeň meze. Vidíš taky, co je to za křivku, pokud to nebylo vidět hned.

Dala jsem hinty k čemu to je v ↑ Andrejka3:.
Hodnota parametru bodu na křivce je rovna délce oblouku od počátečního bodu k tomu bodu (viz definice).
Při takové parametrizaci je počítání délek oblouků triviální problém -- rozdíl příslušných parametrů.

Crashatorr · 30. 05. 2015 19:01

↑ Andrejka3:
Takže není třeba délku vždycky přepočítávat znova jestli to dobře chápu, respektive parametrizace obloukem měří délku křivky závisle na zvoleném t
Díky moc

Andrejka3 · 30. 05. 2015 19:18

↑ Crashatorr:
Ano. Teď by ti všude vyšel tečný vektor jednotkový, takže při počítání délky bys integroval jedničku, takže by vyšel jen rozdíl mezí (tedy parametru).
To je charakteristické pro tuto parametrizaci.

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2015 12:29

Parametrizace obloukem

#2 30. 05. 2015 17:12

Re: Parametrizace obloukem

#3 30. 05. 2015 18:14

Re: Parametrizace obloukem

#4 30. 05. 2015 18:21 — Editoval Andrejka3 (30. 05. 2015 18:23)

Re: Parametrizace obloukem

#5 30. 05. 2015 18:40

Re: Parametrizace obloukem

#6 30. 05. 2015 18:44

Re: Parametrizace obloukem

#7 30. 05. 2015 19:01

Re: Parametrizace obloukem

#8 30. 05. 2015 19:18

Re: Parametrizace obloukem

Zápatí