Matematické Fórum

plisna · 30. 12. 2007 15:04

ahoj, resim ulohu ze statistiky s normalnim rozdelenim a potrebuji vypocitat integral $\int_{-\infty}^{50} \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} \exp \left\{\frac{-1}{2} \frac{(x-45)^2}{10^2}\right\}\,{\rm d}x$ . Musi se tam zasubstituovat a pak spocitat kvadrat integralu pomoci transformace do polarnich souradnic, ale nevim, jak to rozumne spocitat, protoze ta oblast neni zrovna na vyjadreni v polarnich souradnicich idealni. Mozna, ze existuje snazsi reseni, pokud nekdo vi, budu moc vdecny. predem diky, zdravi L.K.

Olin · 30. 12. 2007 17:06

No, nejprve bych se zbavil toho x-45, tedy
$\int_{-\infty}^{5} \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} \exp \left\{\frac{-x^2}{200}\right\}\,{\rm d}x$

Pokud vím, tak takovýto integrál rozumně algebraicky upravit nepůjde, leda pomocí tzv. chybové funkce erf(x). Toho mínus nekonečna se zbavíme pomocí integrálu
$\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Netuším, jak by tady mohly pomoct polární souřadnice, ale mám dojem, že nějak přes plošný integrál na kružnici (-> pol. souř.) se dokazuje ten uvedený integrál.

plisna · 30. 12. 2007 18:30

mohl by jsi upresnit to, jak se zbavit toho minus nekonecna pomoci toho integralu, ktery jsi uvedl?

robert.marik

Olin napsal(a):
No, nejprve bych se zbavil toho x-45, tedy
$\int_{-\infty}^{5} \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} \exp \left\{\frac{-x^2}{200}\right\}\,{\rm d}x$

Pokud vím, tak takovýto integrál rozumně algebraicky upravit nepůjde, leda pomocí tzv. chybové funkce erf(x). Toho mínus nekonečna se zbavíme pomocí integrálu
$\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Netuším, jak by tady mohly pomoct polární souřadnice, ale mám dojem, že nějak přes plošný integrál na kružnici (-> pol. souř.) se dokazuje ten uvedený integrál.

$\left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2=\int_0^\infty e^{-x^2}dx \int_0^\infty e^{-y^2}dy =\iint e^{-(x^2+y^2)} dxdy$

ten dvojný integrál je přes první kvadrant a po zavedení polárních souřadnic se dá najít primitivní funkce (bude se tam integrovat $\iint r e^{-r^2}dr d\phi$ )

Ale s jiinýma mezema to vidím spíš na numerickou integraci nebo ještě lépe, hledání v tabulkách

plisna · 30. 12. 2007 18:42

no to ja vim, jak spocitat integral $\int_0^{\infty}\exp(-x^2)\,{\rm d}x$ , ale me zajima jak vypocitat $\int_{-\infty}^{5}\exp(\frac{-x^2}{200})\,{\rm d}x$ . ale diky za snahu!

robert.marik · 30. 12. 2007 18:48

plisna napsal(a):
no to ja vim, jak spocitat integral $\int_0^{\infty}\exp(-x^2)\,{\rm d}x$ , ale me zajima jak vypocitat $\int_{-\infty}^{5}\exp(\frac{-x^2}{200})\,{\rm d}x$ . ale diky za snahu!

aha. tak asi ty tabulky nebo nějaký CAS.

Olin · 01. 01. 2008 18:45

No já to vidím takto (možná se mýlím): protože je exp(-x^2) sudá fce, potom

$\int_0^{\infty}\exp(-x^2)\,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{0}\exp(-x^2)\,{\rm d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Odkud snad dostaneme (jsem teprv středoškolák, dávám to nějak tak intuitivně…):

$\int_{-\infty}^{0}\exp\left(\frac{-x^2}{200}\right)\,{\rm d}x = 5\sqrt{2\pi}$

No a od té nuly po pětku asi už jen error funkcí nebo numericky!

plisna · 01. 01. 2008 18:49

no to je prave ono, numericky to samozrejme spocitat jde, ale jde to udajne i analyticky :(

Olin · 01. 01. 2008 18:57

Sleduj co to vyhodí, když tu funkci dáš sem:

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess … unction.en

Jak jsem tušil, vede to akorát na erf(x).

plisna · 01. 01. 2008 20:12

no a co kdyz je na ten analyticky vypocet treba nejaky trik nebo uvaha, prijde na to 100 % taky ten kalkulator?

robert.marik · 01. 01. 2008 20:48

plisna napsal(a):
no a co kdyz je na ten analyticky vypocet treba nejaky trik nebo uvaha, prijde na to 100 % taky ten kalkulator?

moc tomu nevěřím, kdyby to šlo s pětkou tak to jde i sedmičkou a patnáctkou. a potom by se funkce erf dala definovat nějak líp než to je. ale jestli ve škole zjistíte řešení , tak ho sem prosím pošlete. taky by mě to zajímalo.

plisna · 01. 01. 2008 22:59

tak ted jsem zjistil, ze ten integral jde velmi snadno vypocitat pomoci statistickych tabulek, ktere se nejpravdepodobneji vytvari numericky, takze je dost mozne, ze jsem vas vsechny mystifikoval tim, ze ten integral jde vypocist analyticky, za coz se omlouvam!

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2007 15:04

integral exp(-t^2/2)

#2 30. 12. 2007 17:06

Re: integral exp(-t^2/2)

#3 30. 12. 2007 18:30

Re: integral exp(-t^2/2)

#4 30. 12. 2007 18:36 — Editoval robert.marik (30. 12. 2007 18:47)

Re: integral exp(-t^2/2)

Olin napsal(a):

#5 30. 12. 2007 18:42

Re: integral exp(-t^2/2)

#6 30. 12. 2007 18:48

Re: integral exp(-t^2/2)

plisna napsal(a):

#7 01. 01. 2008 18:45

Re: integral exp(-t^2/2)

#8 01. 01. 2008 18:49

Re: integral exp(-t^2/2)

#9 01. 01. 2008 18:57

Re: integral exp(-t^2/2)

#10 01. 01. 2008 20:12

Re: integral exp(-t^2/2)

#11 01. 01. 2008 20:48

Re: integral exp(-t^2/2)

plisna napsal(a):

#12 01. 01. 2008 22:59

Re: integral exp(-t^2/2)

Zápatí