Matematické Fórum

byk7 · 24. 04. 2015 15:12

Zdravím,

již dlouhou dobu jsem se pokoušel dokázat větu, že mezi libovolnými dvěma reálnými čísly $a<b$ existuje nekonečně mnoho racionálních i iracionálních čísel. Myslím, že se mi to konečně podařilo (i když stoprocentně jistý si nejsem). Chtěl bych poprosit o komentář, kde se v důkazu nachází slabiny (ať už faktické, nebo pouze formální). Další dotaz, jde to udělat nějak (úplně(?)) jinak?

Děkuji za reakce.

http://goo.gl/Hed7CY

vanok · 24. 04. 2015 18:09

Ahoj ↑ byk7:,
Tvoj dokaz ked budem mat cas podrobnejsie pozriet.
Ina technika:
Staci dokazat ze lubovolny otvoreny interval I=]a,b[, a<b je bijectivny z R.
Inac v tvojom dokaze ukazujes ze pocet iraciolnych cisiel v nejakom intervale je nekonecny spocitatelny, ale tych je v tvojom intervale o mnoho viac.

byk7 · 24. 04. 2015 20:23

Té poznámky o spočetnosti jsem si vědom, to mi ale nevadí, mně stačí ta "pouhá" nekonečnost.

vanok · 24. 04. 2015 22:38

Ahoj,
Veta co dokazujes, sa da vyjadrit aj takto:
$\mathbb{Q}$ je huste v $\mathbb{R}$
$\mathbb{R\setminus Q }$ je huste v $\mathbb{R}$ .
Ak chces pridam moj dokaz, aby si mohol porovnat.

byk7 · 24. 04. 2015 22:44

↑ vanok:

Pojmu "hustá množina" jsem se chtěl vyhnout, protože používá topologické termín termíny, čemuž já zatím nerozumím.

Rád si Váš důkaz prohlédnu. :)

check_drummer

↑ byk7:
Ahoj, pdole mého stačí dk, že v každém intevalu I:=(a,b) se nachází alespoň jedno racionální a alespoň jedno iracionální číslo. Potom tedy např. je-li toto číslo x, tak stejný postup aplikujeme např. na interval (a,x) a tak získáme nekonečně mnoho požadovaných čísel.

Důkaz výše uvedeného tvrzení pro racionální x by mohl být např. takový, že lze nalézt u z Q dostatečně blízké k 0 (např. u=1/n pr odostatečně velké n) a je-li jeho velikost menší než délka I, tak vhodným celočíselným násobkem u získáme číslo z I.

Pro x iracionální lze použít tentýž postup ( $u:=\sqrt{2}/n$ ).

vanok · 25. 04. 2015 12:59

Ahoj,
Pred tym ako tu dam dokazy, co som slubil, dam do popredia tuto poznamku.
Casto ked sa robia dokazy, kde $\mathbb{R}$ je dolezite vediet, ze sa v nich objavia ( nemo) prvky topologie, ( vsak $\mathbb{R}$ je model, co sa tyka zaciatkov topologie).
Inac, tiez iste vies, ze struktura $\mathbb{R}$ sa da vybudovat viacerymi sposobmi. Pochopitelne treba vzdy dokazat ze kazda konstrukcia je ekvivalentna z kazdou inou konstrukciou. Preto je sa $\mathbb{R}$ casto uvadza axiomaticky. (Aj na to je viacej presentacii )
A na koniec este jedna poznamka.
Jedna dolezita axioma v $\mathbb{R}$ je Archimedova vlasnost.
Povieme, ze $\mathbb{R}$ je archimedovske:
$\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, n>x$
Pre kazde realne x, existuje prirodzene n ostro vädcie ako x.

vanok · 25. 04. 2015 21:42 — Editoval vanok (26. 04. 2015 11:51)

Pre istotu male upresnenia
$\mathbb{Q}$ je huste v $\mathbb{R}$
Znamena:lubovolny otvoreny ( neprazdny) interval z $\mathbb{R}$ obsahuje nekonecne vela racionalnich cisiel.

$\mathbb{R\setminus Q }$ je huste v $\mathbb{R}$ .
Znamena:lubovolny otvoreny ( neprazdny) interval z $\mathbb{R}$ obsahuje nekonecne vela irracionalnich cisiel

Teraz dokazem v 3ch castiach co som vyssie slubil.

Predpokladajme ze $a<b$
1. Kazdy internal ]a,b[obsahuje aspon jedno racionalne cislo.
Co sa formalne pise
$\exists a,b \in \mathbb{R} (a<b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q}|a<r<b)$
Myslienka dokazu je najst racionalne cislo $r =\frac p q$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ a $q \in\mathbb{N}^*$ , cize teba najst take $p , q |qa < p < qb$
Cize treba nast $q \in \mathbb{N}^*$ ze interval $]qa, qb[$ obsahuje cele $p$ .
Na to staci, ze dlzka $qb - qa =q(b - a) > 1$ , co je ekvivalentne z $q > \frac 1{ b-a}$
Toto nas doviedlo, vdaka Archimedovej vlasnosti k tomutu dokazu.
Existuje cele $q$ take, ze $q> \frac 1{b-a}$ . Akoze $b-a>0$ , mame $q\in \mathbb{N}^*$ . Polozme $p=[aq]+1$ .
Preto $p-1 \le aq< p$ .
To nam da $a < \frac pq$ , ako aj $\frac pq - \frac 1q \le a$
Cize $\frac pq \le \frac 1q + a < a + b -a = b$ .
To nam konecne da $\frac pq \in ]a, b[$ co ukoncuje dokaz casti 1.

vanok · 26. 04. 2015 11:38 — Editoval vanok (26. 04. 2015 18:56)

2. Kazdy otvoreny( neprazdny) interval obsahuje aspon jedno iracionalne cislo.
Pouzijem, cast 1. V intervaly $]a-\sqrt 2, b-\sqrt 2[$ existuje rationalne cislo $r$ .
$r+\sqrt 2$ je iracionalne a je v $]a,b[$ ( vdaka posunutiu )

Posledna cast
3. Kazdy otvoreny( neprazdny) interval obsahuje nekonecne vela rationalnich a iracionalnich cisiel.
Staci konstatovat, ze $I=]a,b[$ obsahuje $n$ kde $n\ge1$ disjoinktnich otvorenich intervalov a na kazdy pouzit vlasnoti 1. a 2.
Cize $I$ obsahuje aspon $n$ , $(n\ge 1)$ racionalnich a iracionalnich cisiel. Toto plati pre kazde $n\ge1$
To konci dokaz 3.

byk7 · 29. 04. 2015 21:35

Pěkné, díky.

BakyX · 30. 05. 2015 02:03

↑ vanok:

Ako z faktu, že v intervale $[a,b]$ je $n$ racionálnych a $n$ iracionálnych čísel plynie, že je tam nekonečne veľa racionálnych a zároveň nekonečne veľa iracionálnych čísel ?

vanok · 30. 05. 2015 02:11

Ahoj ↑ BakyX:,
Klucove slovo je indukcia.

BakyX · 30. 05. 2015 02:44

↑ vanok:

Mohol by si to prosím rozpísať ?

Existuje ľubovoľne dlhá postupnosť po sebe idúdich zložených čísel, ale nie nekonečne dlhá.

Prečo by to nemohol byť tento prípad ?

vanok · 30. 05. 2015 07:26

↑ BakyX:
Neformalne
Indukcny krok.
Tu mozes pouzit, zéro ak mas k intervalov, mozes z nich vybrat lubovolny z nich, akoze tento obsahuje aspon jedno rationalne cislo, dostaneme dva ( mensie) disjoinktne intervaly. Na kazdy z nich mozes applikovat bod 1 a 2. To da, k +1 disjointnich intervalov ... z ktorych kazdy obsahuje aspon jedno rationalne ako aj irationalne cislo.

check_drummer · 30. 05. 2015 14:47

↑ BakyX:
Ahoj, stačí dokonce jedno, viz můj příspěvek.

vanok · 30. 05. 2015 19:28

Ahoj ↑ check_drummer:,
Vsak v principe pises to iste ako ja. Az nato ze som dal viac detailov.

Rumburak · 01. 06. 2015 09:57

↑ byk7:

Ahoj.

Jen drobnost:

Lemma 3. Součet, rozdíl, součin a podíl racionálního a iracionálního čísla je iracionální.

U součinu je nutno připojit předpoklad, že racionální činitel je různý od nuly.

vanok · 01. 06. 2015 12:33

Poznamka:
Ak chcete ine dokazy ( skor redakcie dokazu) dajte si na Google : density of Q.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2015 15:12

Racionální a iracionální čísla

#2 24. 04. 2015 18:09

Re: Racionální a iracionální čísla

#3 24. 04. 2015 20:23

Re: Racionální a iracionální čísla

#4 24. 04. 2015 22:38

Re: Racionální a iracionální čísla

#5 24. 04. 2015 22:44

Re: Racionální a iracionální čísla

#6 25. 04. 2015 12:40 — Editoval check_drummer (25. 04. 2015 12:41)

Re: Racionální a iracionální čísla

#7 25. 04. 2015 12:59

Re: Racionální a iracionální čísla

#8 25. 04. 2015 21:42 — Editoval vanok (26. 04. 2015 11:51)

Re: Racionální a iracionální čísla

#9 26. 04. 2015 11:38 — Editoval vanok (26. 04. 2015 18:56)

Re: Racionální a iracionální čísla

#10 29. 04. 2015 21:35

Re: Racionální a iracionální čísla

#11 30. 05. 2015 02:03

Re: Racionální a iracionální čísla

#12 30. 05. 2015 02:11

Re: Racionální a iracionální čísla

#13 30. 05. 2015 02:44

Re: Racionální a iracionální čísla

#14 30. 05. 2015 07:26

Re: Racionální a iracionální čísla

#15 30. 05. 2015 14:47

Re: Racionální a iracionální čísla

#16 30. 05. 2015 19:28

Re: Racionální a iracionální čísla

#17 01. 06. 2015 09:57

Re: Racionální a iracionální čísla

#18 01. 06. 2015 12:33

Re: Racionální a iracionální čísla

Zápatí