Matematické Fórum

tng013 · 31. 05. 2015 18:41

Myslím, že postup mám správný a kořeny rovnice taky, ale výsledek se liší :D

Zadání: Součet všech řešení goniometrické rovnice $2cosx + sin2x = 0$ v intervalu $(0, 2\pi)$ je?

Co prosím dělám špatně?

Jj · 31. 05. 2015 18:56

↑ tng013:

Dobrý den.

Řekl bych, že kořen $3/2\,\, \pi$ má jít do součtu jen jednou.

tng013 · 31. 05. 2015 20:21

To jsem si také říkal, ale nechápu proč (?). V tom intervalu jsou pro $cosx = 0$ právě dva kořeny.

Jj · 31. 05. 2015 20:58 — Editoval Jj (31. 05. 2015 20:59)

↑ tng013:

Spíš jsem jen zauvažoval, zda u nealgebraické rovnice bude zadavatel uvažovat násobnost kořenů (ani nevím zda je to u těchto rovnic v osnovách střední školy). A taky bych řekl, že daná funkce má v bodě $_{3\pi /2}$ inflexní bod a zřejmě dokonce trojnásobný kořen.

tng013 · 31. 05. 2015 22:36

Tomu už nerozumím :-D Každopádně postup a kořeny mám správně, že? U podobných příkladů mám tedy sčítat pouze odlišné kořeny..(?)

Jj · 01. 06. 2015 07:23

↑ tng013:

Řekl bych, že to máte správně. Zřejmě (u nealgebraických rovnic) uvažovat jen odlišné kořeny - ovšem záleží na autorovi úlohy.

Cheop · 01. 06. 2015 08:14 — Editoval Cheop (01. 06. 2015 08:14)

↑ Jj:
Zdravím:)
Ale pokud je:
Zadání: Součet všech řešení goniometrické rovnice $2cosx + sin2x = 0$ v intervalu $(0, 2\pi)$ je?
pak bych řekl, že ten kořen $\frac{3\pi}{2}$ by se měl do součtu počítat 2 krát.
Jednou z titulu cos x a podruhé z titulu sin x

Al1 · 01. 06. 2015 09:38

Zdravím,

pokud bychom zvolili grafické řešení, pak grafy fcí $y=2\cos x$ a $y=-\sin (2x)$ se v intervalu $(0, 2\pi)$ protnou ve dvou bodech $\bigg[\frac{\pi }{2}; 0\bigg], \bigg[\frac{3\pi }{2}; 0\bigg]$ . Pak by ovšem součet řešení byl $2\pi$

tng013 · 01. 06. 2015 11:08

↑ Cheop:to jsem si také říkal, ale správné řešení bude asi ↑ Al1: postup.

Tak vám všem děkuji. :-)

tng013 · 01. 06. 2015 18:36

Opět zdravím,
abych nezakládal další téma, tak to přidám sem, protože se jedná o podobný problém...

Zadání: Součet všech řešení goniometrické rovnice $sinx + sin\frac{x}{2} = 0$ v intervalu $(0, 2\pi)$ je?

$s: \frac{x}{2} = a$
$sin 2a + sin a = 0$
$2\cdot sin(a) \cdot cos(a) + sin(a) = 0$
$sin(a)(2\cdot cos(a) + 1) = 0$
=> $sin(a) = 0$
=> $cos(a) = -\frac{1}{2}$

V intervalu $(0, 2\pi)$ je $sin(a) = 0$ pouze v bodě $\pi$ .
V intervalu $(0, 2\pi)$ je $cos(a) = -\frac{1}{2}$ v bodě $\pi - \frac{\pi}{3}$ a $\pi + \frac{\pi}{3}$

Takže mám tyto kořeny: $\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$
............................
$s: \frac{x}{2} = a$
1)
$\frac{x}{2} = \pi$
$x = 2\pi$
2)
$\frac{x}{2} = \frac{2}{3}\pi$
$x = \frac{4}{3}\pi$
3)
$\frac{x}{2} = \frac{4}{3}\pi$
$x = \frac{8}{3}\pi$
............................
Součet výsledných kořenů je tedy $\bigg(\frac{6+4+8}{3}\bigg)\pi = 6\pi$

Výsledek má ale být pouze $\frac{4}{3}\pi$ ... Prosím o kontrolu jestli dělám něco špatně atp. :-/

Díky!