Matematické Fórum

slonik · 02. 06. 2015 11:59 — Editoval slonik (02. 06. 2015 12:22)

Mám tento příklad:

Napište rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC, kde:
A=[5,3], B=[3,-1], C=[2,2]

Dosadil jsem do obecné rovnice a mám soustavu:

25+9-10a-6b+c=0
9+1-6a+2b+c=0
4+4-4a-4b+c=0

To by snad mělo být správně, ale nejsem schopen vyřešit tu soustavu. Snažím se to různě sčítat, vyjadřovat, ale nevychází to.

Edit: Oprava rovnic.

Al1 · 02. 06. 2015 12:17

↑ slonik:

Zdravím,

obecná rovnice kružnice se středem S[m, n] má tvar
$x^{2}+y^{2}-2mx-2ny+p=0, p=m^{2}+n^{2}-r^{2}$

Tak si rovnice v soustavě oprav.

slonik · 02. 06. 2015 12:23

Děkuji, opraveno. Stejně ale nevím, jak dál.

Al1 · 02. 06. 2015 12:25

$34-10m-6n+p=0\nl 10-6m+2n+p=0\nl8-4m-4n+p=0$

Teď třeba odečti druhou rovnici od první a třetí od druhé, dostaneš dvě rovnice s proměnnými m, n

Cheop · 02. 06. 2015 12:35 — Editoval Cheop (02. 06. 2015 12:37)

↑ slonik:
Taková malá rada:
Pokaždé když máš napsat rovnici kružnice opsané trojúhelníku,
tak je dobré si zjistit zda ten trojúhelník není náhodou pravoúhlý.
V 70 % případů bývá opravdu pravoúhlý - to je i toto zadání. (pravý úhel při vrcholu C)
No a pokud je troúhelník pravoúhlý potom víme že:
1) střed kružnice leží uprostřed přepony
2) poloměr je polovina přepony.
Tím se nám výpočet velmi zjednoduší.
V našem případě je rovnice:
$(x-4)^2+(y-1)^2=5$

slonik · 02. 06. 2015 12:37

To mám tedy:

$24-4m-8n=0$
$2-2a+6b=0$ $/\cdot (-2)=-4+4a-12b=0$

To sečtu:
$20-20b=0 \Rightarrow b=-1$

A z toho:
$a=-2$ a $c=-20$

To by tedy rovnice byla:
$x^{2}+y^{2}+4x+2y-20=0$

Má to ale být:
$x^{2}+y^{2}-2x-3y-3=0$ :(

Cheop · 02. 06. 2015 12:42 — Editoval Cheop (02. 06. 2015 12:48)

↑ slonik:
$x^{2}+y^{2}-2x-3y-3=0$ - tato kružnice není rovnicí kružnice opsané trojúhelníku se zadanými body A,B,C
Wolframalpha to spočítal takto:
Výpočet

Al1 · 02. 06. 2015 12:45

↑ slonik:

Když pominu změnu neznámých.
$20-20b=0 \Rightarrow b=1$
A z toho plynou další změny

slonik · 02. 06. 2015 13:31

Děkuji za pomoc, už to mám :)

A omlouvám se, opsal jsem špatný výsledek, je to: $x^{2}+y^{2}-8x-2y+12=0$

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2015 11:59 — Editoval slonik (02. 06. 2015 12:22)

Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#2 02. 06. 2015 12:17

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#3 02. 06. 2015 12:23

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#4 02. 06. 2015 12:25

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#5 02. 06. 2015 12:35 — Editoval Cheop (02. 06. 2015 12:37)

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#6 02. 06. 2015 12:37

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#7 02. 06. 2015 12:42 — Editoval Cheop (02. 06. 2015 12:48)

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#8 02. 06. 2015 12:45

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

#9 02. 06. 2015 13:31

Re: Analytická geometrie - kružnice opsaná (a soustava tří rovnic)

Zápatí