Matematické Fórum

ttt_ · 03. 06. 2015 15:05 — Editoval ttt_ (03. 06. 2015 15:39)

Ahojte, mam otazku:
Ked je funkcia spojita na intevale $(a,b)$ , a je rydzo konvexna na $\forall (c,d)\subset(a,b)$ , potom existuje prave jeden bod $x\in(a,b)$ , v ktorom je minimum funkcie na $(a,b)$ ?

Bati · 03. 06. 2015 15:42

Ahoj,
to, že takový bod je nejvýše jeden plyne z ryzí konvexity (pokud by byly 2 body minima, tak mezi nimi je funkce ještě menší). To, že je alespoň jeden ale v této situaci nedokážeš kvůli tomu otevřenému intervalu - stačí vzít třeba $x^2$ na $(0,1)$ . Pokud bys to změnil na uzavřený interval, tak už to samozřejmě dokážeš díky spojitosti, ale konvexitu k tomu vůbec nepotřebuješ.

ttt_ · 03. 06. 2015 15:54

↑ Bati:
Dakujem za odpoved.
Bez konvexnosti ako? Ked diferencialny pocet, a ani monotonnost funkcie nechcem pouzit.
Interval $(a,b)$ by mal byt otvoreny, kedze uvazujem o funkcii kde plati, ze $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ a $\lim_{x\to b}f(x)=\infty$ , ale $[c,d]$ moze byt uzavrety.

Bati · 03. 06. 2015 16:04

↑ ttt_:
Pokud máš ty limity, tak to je něco jako tzv. koercivita a díky spojitosti se s hledáním minima můžeš omezit na nějaký uzavřený subinterval (prostě odřízneš dostatečně malé okraje, kde je funkce moc velká). A pokud jsi na uzavřeném intervalu a máš spojitou funkci, tak ta tam nabývá svých extrémů - to se dokazuje v prváku a je to velmi speciální verze věty o tom, že spojité funkce zachovávají kompaktnost. Na jednoznačnost pak samozřejmě potřebuješ něco navíc - např. tu monotonii nebo konvexitu.

ttt_ · 03. 06. 2015 16:11

Velmi pekne Ti dakujem.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2015 15:05 — Editoval ttt_ (03. 06. 2015 15:39)

extrem funkcie

#2 03. 06. 2015 15:42

Re: extrem funkcie

#3 03. 06. 2015 15:54

Re: extrem funkcie

#4 03. 06. 2015 16:04

Re: extrem funkcie

#5 03. 06. 2015 16:11

Re: extrem funkcie

Zápatí