Matematické Fórum

peeeto · 01. 06. 2015 15:48

Dobrý deň,
skoro všade sa vyskytujú matice, pre ktoré sa dajú jednoducho vypočítať jordanove tvary aj s bázami, avšak neviem nájsť na internete príklady podobné naším testom, kde mi vlastné vektory nedajú dosť informácií na zostavenie bázy P. Ako príklad uvádzam túto maticu:

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 &0 \\ 0 & -4 & 3&2 \\ 0&-3&2&2 \\0&-2&2&1 \end{pmatrix}$

Vlastné čísla spočítam ako
$\begin{vmatrix} -1-\lambda & -1 & 1 &0 \\ 0 & -4-\lambda & 3&2 \\ 0&-3&2-\lambda &2 \\0&-2&2&1-\lambda \end{vmatrix}$
a teda vlstné čísla sú $\lambda _{1,2,3,4}=1,-1,-1,-1$

Potom by som vypočítal vlastné vektory ako N(A-1E), N(A+1E) prípadne $N(A+1E)^{2}$ a $N(A+1E)^{3}$ . (E je jednotková matica)

a teda pre N(A-1) výjde $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}$
a pre N(A+1E) výjde $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$ ,
čo aj keby bolo správne sú len tri vektory a mi na obloženie jordanovho tvaru potrebujeme 4 a taktiež si nie som istý ako bude vyzerať ten jordanov tvar.

Andrejka3

↑ peeeto:
Ahoj.
Algebraická násobnost vl č 1 je jedna (násobnost char. polynomu), stejně tak jako geometrická násobnost (dimenze jádra A-E). Tímto jsme vyřešili invariantní podprostor příslušný vlastnímu číslu 1.

Vl. č. -1 má alg násobnost 3, kdežto, jak jsi zjistil, geometrickou pouze 2. To znamená, že struktura zobecněného podprostoru pro -1 je následující:

a
|
c b

kde a,b,c je base N(A-E)^2, b,c je base N(A-E), navíc $(A-E)a=c$ . Říká se tomu řetízky - jeden je délky dva, jeden délky jedna.
Je tedy třeba najít nějaký prvek z $c\in N (A-E)^2\cap \mathrm{Im}\:(A-E)$ , najít k němu vzor v A-E, $a$ , a doplnit k c vektor b tak, aby b,c byla base N(A-E). To zde není tak těžké, půjdeme na to trikem -- nejdřív si zvolíme $a$ .

Base $N(A-E)^2$ je $\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$ , přičemž je vidět, že ten druhý vektor není v N(A-E). Tak si označme $a=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}$ .
Pak $c=(A-E)a=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ a k $c$ přidejme jeden vektor b tak, aby b,c byla base N(A-E). Lze volit $c=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$ .

Nyní blok matice $A-E$ v invariantním podprostoru generovaném basí $(a,c)$ má tvar $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , tedy tento blok pro $A$ je $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ .
Celý Jordanův tvar je pak složením tří bloků: blok pro vl č 1, a dva pro -1.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2015 15:48

Jordanov tvar podrobne - pre každý prípad

#2 04. 06. 2015 11:24 Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3. Důvod: chyba, opravim

#3 04. 06. 2015 12:30 — Editoval Andrejka3 (04. 06. 2015 12:31)

Re: Jordanov tvar podrobne - pre každý prípad

Zápatí