Matematické Fórum

ragulin · 05. 06. 2015 12:58

Zdravím, mám problém při určení stacionárnho bodu funkce
$f(x,y)=x^2+xy+y^2-4lnx-10lny$

Derivace podle X:
$2x+y-\frac{4}{x}$

Derivace podle Y:
$2y+x-\frac{10}{y}$

Dám je rovno nule:
$2x+y-\frac{4}{x}=0$
$2y+x-\frac{10}{y}=0$

Vyjde mi:
$y=\frac{2x^2-4}{x}$
$x=\frac{2y^2-10}{y}$

Z roho mi plyne, že stacionární bod je:
$SB :[\mp \sqrt{2},\mp \sqrt{5}]$

MAW se se mnou hádá, a tvrdí, že:
$SB :[1,2]$

Což je sice pravda, ale nevím, jak na to přijít, a proč je moje řešení špatně...

Děkuji za radu

Eratosthenes

ahoj ↑ ragulin:

jednoduše proto, že je mimo definiční obor funkce :-)

PS: A jak ti to vůbec z těch parc. derivací vyplynulo? Mně to nějak neplyne...

Al1 · 05. 06. 2015 14:10

↑ ragulin:

Zdravím,

chyba je ve vyjádření y z první parciální derivace, správně má být $y=\frac{4-2x^2}{x}$
A vyjádření x z druhé derivace, správně má být $x=\frac{10-2y^2}{y}$

Soustava má řešení
$[1;2], [-1;-2],\bigg [-\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{5\sqrt{3}}{3}\bigg];\bigg [\frac{4\sqrt{3}}{3}; -\frac{5\sqrt{3}}{3}\bigg]$

Vzhledem k definičnímu oboru (nutno vždy určovat!) musí platit $x>0\wedge y>0$ .
Z toho plyne jeden stacionární bod $[1;2]$

Honzc · 05. 06. 2015 15:16

↑ ragulin:
Je dobře zadání?
Rozhodně bod (1,2) neleží na křivce.

jelena · 05. 06. 2015 15:33 — Editoval jelena (05. 06. 2015 19:59)

Zdravím,

↑ Honzc: v zadání ale není křivka (není funkce zadána implicitně), ale plocha, které bod (1,2,z) náležet může - bod (1,2) není mimo def. obor, je tak? Děkuji.

Edit: opraveny souřadnice bodu v rovině a na ploše

ragulin · 05. 06. 2015 21:51

↑ Al1:

Děkuji, školácká chyba

Nicméně u dalšího příkladu :
$f(x,y) =(xy)ln(x^2+y^2)$

Der. podle X $yln(x^2+y^2)+\frac{2x^2y}{(x^2+y^2)}$

Der podly Y $xln(x^2+y^2)+\frac{2xy^2}{(x^2+y^2)}$

Měl bych mít 6 stacionárních bodů, nicméně ja přišel jen na body
SB1 [0,0] není v DF
SB2 [0,1]
SB3 [0,-1]
SB4 [1, 0]
SB5 [-1,0]

Ten šestý mi nějak uniká, měl bych dát do rovnosti tohle, a dopočítat to?
$xln(x^2+y^2)=-\frac{2xy^2}{(x^2+y^2)}$

Děkuji za radu

jelena · 06. 06. 2015 08:51

Zdravím,

nová úloha patří do nového tématu viz pravidla. S MAW jsi výsledky kontroloval?

Derivace se mi zdají v pořádku, potom jsi upravil na součinový tvar $y$\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{(x^2+y^2)}$=0$ (obdobně 2. rovnice) a řešil soustavu pro $y=0$ , z 2. upravené rovnice pro $x=0$ . zbývá soustava:
--------------------------
$\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{(x^2+y^2)}=0$
$\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{(x^2+y^2)}=0$
----------------
když od sebe rovnice odečteš, tak bys měl mít k použití $x^2-y^2=0$ . To ještě dokončíš a snad už žádná jiná varianta k řešení není. V pořádku (pokud ne, tak to, prosím, všechno dej do samostatného tématu)? Děkuji.