Matematické Fórum

slonik · 08. 06. 2015 13:33 — Editoval slonik (08. 06. 2015 13:34)

Nevychází mi tato rovnice...

$\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}=-\sin x$

(má se řešit v $(0,2\pi )$ )

Použil jsem vzorce a mám:

$\sqrt{2}\sin x\cos x+\sin x=0$

Vytkl jsem:

$\sin x(\sqrt{2}\cos x+1)=0$

$\sin x=0$ v $\pi$

$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ v $\frac{3\pi }{4}$ , $\frac{5\pi }{4}$

Mám určit součet kořenů, který mi vyšel $3\pi$ , má být ale $\frac{3\pi }{2}$

Al1 · 08. 06. 2015 13:45

↑ slonik:

Zdravím,

co jsi použil za vzorec pro $\sin \frac{x}{2}$ ?

Já bych raději použil vztah pro dvojnásobný argument a upravil sinx:

$\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$

slonik · 08. 06. 2015 13:49

Použil jsem $\sin 2x=2\sin x\cos x$ , tedy $\sin \frac{x}{2}=\sin x\cos x$

Ale evidentně je to asi špatně :D

Al1 · 08. 06. 2015 14:08

↑ slonik:

Použil jsem $\sin 2x=2\sin x\cos x$ , tedy $\sin \frac{x}{2}=\sin x\cos x$

Tak to je chybně. Zkus třeba zadat x=pi. Při použití vztahu pro dvojnásobný argument bys dostal $\sin \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}$
Platí $\bigg|\sin \frac{x}{2}\bigg|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ .

Řeš to tedy takto
$\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$

slonik · 08. 06. 2015 14:24 — Editoval slonik (08. 06. 2015 14:25)

Snažím se o to, ale nevychází mi to... Použil jsem substituci za $\frac{x}{2}$

$\sin \frac{x}{2}=0$ akorát v $\pi$

$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ v $\frac{3\pi }{4}$ a $\frac{5\pi }{4}$ , tedy $\cos \frac{x}{2}=0$ by měl v $\frac{3\pi }{2}$ a $\frac{5\pi }{2}$ , a to stále nevychází...

Al1 · 08. 06. 2015 14:36 — Editoval Al1 (08. 06. 2015 14:39)

↑ slonik:

V rovnici žádné $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nebo $\cos x=0$ nevychází!

$\sin \frac{x}{2}=0\nl\frac{x}{2}=k\pi$ $\cos \frac{x}{2} =-\frac{\sqrt{2}}{2}\nl \frac{x}{2}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \vee \nl \frac{x}{2}=\frac{5\pi }{4}+2k\pi$

Dořeš x a přizpůsob řešení intervalu $(0,2\pi )$

gadgetka · 08. 06. 2015 14:36

To bude tím, že $\frac{5\pi }{2}$ je mimo definovaný interval... ;)

slonik · 08. 06. 2015 14:41

Dobře, tak to mně zbývá $\frac{3\pi }{2}$ ... Ale co to $\pi$ od toho sinu? S tím už to do toho součtu zase nevychází.

Al1 · 08. 06. 2015 14:45

↑ slonik:

Tak znovu
$\sin \frac{x}{2}=0\nl\frac{x}{2}=k\pi \nl x=2k\pi$

Do intervalu $(0,2\pi )$ nepatří žádné z těchto x, neboť $2k\pi$ dává úhly $0; 2\pi$ , žádné $\pi$

slonik · 08. 06. 2015 14:49

Už to chápu. Moc děkuju! :)

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2015 13:33 — Editoval slonik (08. 06. 2015 13:34)

Goniometrická rovnice

#2 08. 06. 2015 13:45

Re: Goniometrická rovnice

#3 08. 06. 2015 13:49

Re: Goniometrická rovnice

#4 08. 06. 2015 14:08

Re: Goniometrická rovnice

#5 08. 06. 2015 14:24 — Editoval slonik (08. 06. 2015 14:25)

Re: Goniometrická rovnice

#6 08. 06. 2015 14:36 — Editoval Al1 (08. 06. 2015 14:39)

Re: Goniometrická rovnice

#7 08. 06. 2015 14:36

Re: Goniometrická rovnice

#8 08. 06. 2015 14:41

Re: Goniometrická rovnice

#9 08. 06. 2015 14:45

Re: Goniometrická rovnice

#10 08. 06. 2015 14:49

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí