Matematické Fórum

Lucka123 · 14. 06. 2015 12:07

Dobrý den, prosila bych o postup u příkladu: Napište parametrické vyjádření všech těžnic trojúhelníku s vrcholy A[-2;-1], B[3;0], C[2;4]. Určete jeho těžiště T jako průsečík dvou těžnic a ověřte, že jím prochází i třetí těžnice. Děkuju moc.

gadgetka

Lucí, těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Najdi tedy středy všech stran a spolu s vrcholy máš pro každou přímku, na které leží těžnice, dva body, díky kterým sestavíš jejich rovnice (směrový vektor + vrchol či střed strany). Pak určíš souřadnice těžiště jako jednu třetinu součtu všech tří vrcholů trojúhelníku a dosadíš ho do třetí rovnice těžnice, abys zjistila, zda jím tato přímka prochází.

Lucka123 · 14. 06. 2015 13:52

Já jak nevidím přesný postup, tak to asi nepochopím...
Jen jsem přišla na tohle: t1 = a1+b1+c1 /3 a t2 = a2+b2+c2/3

gadgetka

$T=\frac{A+B+C}{3}$

Výpočet souřadnic těžiště: třetina součtu x-ových a y-ových souřadnic všech vrcholů trojúhelníku.

jelena · 14. 06. 2015 18:50

Zdravím,

podle zadání

Napište parametrické vyjádření všech těžnic trojúhelníku s vrcholy A[-2;-1], B[3;0], C[2;4]. Určete jeho těžiště T jako průsečík dvou těžnic a ověřte, že jím prochází i třetí těžnice.

je požadavkem pracovat s rovnici přímky v parametrickém tvaru, tedy sestavit parametrické rovnice (použit různé parametry pro různé přímky) a porovnat souřadnice - tak vznikne průsečík (T), potom jeho souřadnice dosadit do parametrické rovnice 3. těžnice. Je to dle zadání? Děkuji.

Cheop · 15. 06. 2015 09:11 — Editoval Cheop (15. 06. 2015 11:55)

↑ Lucka123:
Ukáži ti jak určit parametrickou rovnici těžnice na stranu BC (strana a)
1) Víme, že těžnice prochází středem strany a protějším vrcholem.
2) V našem případě středem strany BC a vrcholem A
3) Určíme střed strany BC tj:
$S_{BC}=(\frac{3+2}{2};\frac{0+4}{2})=(\frac 52;2)$
4) Určíme směrový vektor težnice t_a, procházející body A a S_{BC}
$\vec{AS_{BC}}=(\frac 52+2;2+1)=(\frac 92;3)=(3;\,2)$
Těžnice bude mít rovnici: - bude procházet bodem A
$t_a:\,x=-2+3t\\y=-1+2t$
Obdobně určíš rovnice dalších dvou těžnic.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

↑ Lucka123:

Ahoj.

Je užitečné všdět, že těžiště $T$ trojúhelníka s vrcholy $A, B, C$ lze vyjádřit vzorcem

$T = \frac{A + B + C}{3}$

(obdobně jako pro střed $S$ úsečky s vrcholy $A, B$ , kdy platí $S = \frac{A + B}{2}$ ).

Další postup je už jednoduchý, uvědomíme-li si, že např. těžnice $TA$ prochází bodem $T$
a jejím směrovým vektorem je $\vec{TA}$ .

Al1 · 15. 06. 2015 11:08

↑ Rumburak:

Zdravím,

jak napsala kolegyně Jelena a je uvedeno i zadání úlohy, postup řešení úlohy je takový, že

1. napíšeme parametricky těžnice $t_{a}; t_{b}; t_{c}$
2. vypočítáme průsečík dvou těžnic, např. $t_{a}\cap t_{b}$
3. ověříme, že tímto průsečíkem prochází i třetí těžnice $T\in t_{c}$

Samozřejmě, že další kontrola těžiště je pomocí nabízeného vztahu. Ale podle zadání úlohy těžiště teprve ve druhém kroku "konstruujeme", nemůžeme ho tedy využít k výpočtům. To až v kroku 3.

Rumburak · 15. 06. 2015 11:33

↑ Al1:

Zdravím, máš pravdu. Nepřečetl jsem si zadání dosti podrobně a nechal jsem se strhnou
vlatními nápady postupu, místo abych respektoval nápady zadavatele úlohy.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2015 12:07

Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#2 14. 06. 2015 12:25 — Editoval gadgetka (14. 06. 2015 12:29)

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#3 14. 06. 2015 13:52

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#4 14. 06. 2015 13:54 — Editoval gadgetka (14. 06. 2015 13:54)

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#5 14. 06. 2015 18:50

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#6 15. 06. 2015 09:11 — Editoval Cheop (15. 06. 2015 11:55)

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#7 15. 06. 2015 10:00 — Editoval Rumburak (15. 06. 2015 10:04)

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#8 15. 06. 2015 11:08

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

#9 15. 06. 2015 11:33

Re: Vzájemná poloha 2 přímek v rovině

Zápatí