Matematické Fórum

awatar · 15. 06. 2015 17:45

Zdravím,
Poprosim o pomoc s nasledovným
Nech a je racionálne, b iracionálne. Potom a+b je iracionalne číslo. Dokážte.

Isiel som na to nepriamym dokazom, teda dokazat, ze plati tvrdenie
$\exists a\in Q, b \in \{R-Q\}:a+b \in Q$

Tieto veci su pre mna celkom nové a neviem, ako ma vyzerat korektne zapisany matematicky dokaz, tak poprosim niekoho, kto ma tu trpezlivost to rozpisat cele. Pripadne dajaky odkaz, kde je to korektne zapísané.
Vdaka vopred.

Freedy · 15. 06. 2015 18:25

Ahoj,

číslo a se dá zapsat jako podíl celého a přirozeného čísla, tedy $a=\frac{m}{n} >$ m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}
číslo b, zapíšeme jako b.
Součet a + b má být racionální, musí tedy platit:
$\frac{m}{n}+b=\frac{p}{q}$ > p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N}
Pokud by však toto platilo, tak po úpravách dostáváme:
$qm+bnq=np$ a tedy
$b=\frac{np-qm}{nq}$ což nejde v předpokladu, že b je iracionální

zdenek1 · 15. 06. 2015 18:27

↑ awatar:
Mohlo by to vypadat nějak takhle:
Nechť $a\in\mathbb Q$ . Předpokládejme $b\not\in\mathbb Q\ \wedge\ a+b\in\mathbb Q$
Pak $a=\frac pq$ , $p\in\mathbb Z$ , $q\in\mathbb N$ a $a+b=\frac mn$ , $m\in\mathbb Z$ , $n\in\mathbb N$
Úpravou
$\frac{p}{q}+b=\frac{m}{n}\Rightarrow b=\frac{m}{n}-\frac pq=\frac{qm-pn}{nq}\in\mathbb Q$
což je spor s předpokladem.
Předpoklad tudíž neplatí.