Matematické Fórum

vorel · 16. 06. 2015 15:56

Zdravím,

Mám zadán nevlastní integrál vzhledem k funkci $\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
a nevím jak si ho mám rozdělit na limity kvůli tomu, že podmínka vychází $x=+-1$

Děkuji.

jarrro · 16. 06. 2015 16:07 — Editoval jarrro (19. 06. 2015 09:06)

$\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x}= \int\limits_{-1}^{a}{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x}+ \int\limits_{a}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x}$

vorel · 16. 06. 2015 16:20

No a pokud bych postupoval dále tak mi vyjde $\lim_{a\to1} arsin a-arsin -1 + \lim_{a\to-1} arsin 1 - arsina$
a pak my vychází že by to mělo vyjít pí + pí tedy výsledek 2pí, ale podle výsledků by to mělo být pouze pí.

Jj · 16. 06. 2015 17:39

↑ vorel:

Dobrý den. Integrand je sudá funkce - řekl bych, že

$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=2\cdot \lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$

vorel · 16. 06. 2015 18:28

↑ Jj:

Domnívám se, že výsledek vyjde stejně, protože vyjde 2*pí což je 2pí.

Nejspíše bude chyba ve výsledcích, protože tam mají výsledek pí.

Jj · 16. 06. 2015 18:44

↑ vorel:

Domnívám se, že výsledek vyjde stejně, protože vyjde 2*pí což je 2pí.

?? vyjde sice stejně, ale stejně jako ve výsledcích:

$2\cdot \lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=2\cdot \lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=2\cdot \lim_{a\to1^-}[\arcsin a-\arcsin 0]=2\cdot\frac{\pi}{2}$

vorel · 16. 06. 2015 18:59

↑ Jj:

Ano, omlouvám se máte pravdu, ale příliš nechápu, jak jste na to přišel z jakého důvodu je to 2 krát?

Jj · 16. 06. 2015 19:08

↑ vorel:

To je jen formální úprava, sudá funkce je souměrná podle osy y, takže
$\int_{-1}^{0} = \int_{0}^{1}\Rightarrow\int_{-1}^{1} =2\cdot\int_{-1}^{0} =2\cdot\int_{0}^{1}$

vorel · 16. 06. 2015 19:21

Aha, už mi je to jasný. Děkuji.

jarrro · 17. 06. 2015 10:09 — Editoval jarrro (17. 06. 2015 10:11)

"Moje" $a$ je lubovolne cislo medzi -1 a 1 nie je to limitná premenná. tie integrály potom riesit ako nevlastné len s jednou zlou medzou alebo ako jj pise vyuzit parnost a tym sa zbavit jednej zlej medzi

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2015 15:56

Nevlastní integrál

#2 16. 06. 2015 16:07 — Editoval jarrro (19. 06. 2015 09:06)

Re: Nevlastní integrál

#3 16. 06. 2015 16:20

Re: Nevlastní integrál

#4 16. 06. 2015 17:39

Re: Nevlastní integrál

#5 16. 06. 2015 18:28

Re: Nevlastní integrál

#6 16. 06. 2015 18:44

Re: Nevlastní integrál

#7 16. 06. 2015 18:59

Re: Nevlastní integrál

#8 16. 06. 2015 19:08

Re: Nevlastní integrál

#9 16. 06. 2015 19:21

Re: Nevlastní integrál

#10 17. 06. 2015 10:09 — Editoval jarrro (17. 06. 2015 10:11)

Re: Nevlastní integrál

Zápatí