Matematické Fórum

Optix · 19. 06. 2015 12:43

Ahoj, potřeboval bych pomoc s takovou drobností, úplně si nejsem jistý kdy mám uvažovat nerovnosti, rovnosti atd mezi náhodnými veličinami ve smyslu skoro jistě? Jestli tedy na to je nějaké pravidlo, nebo jestli se v takovémto smyslu uvažuje vždy když něco tvrdíme o náhodných veličinách.
Například:
$X \ge Y \quad \text{s.j.} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E} X \ge \mathbb{E}Y$

check_drummer · 19. 06. 2015 22:56

↑ Optix:
Ahoj, jak to myslíš "kdy"? Buď je to explicitně zmíněno, případně to bez "skoro jistě" nedává smysl...

Rumburak

↑ Optix:

Ahoj. Problém se týká spojitých náhodných veličin. Pokusím se to vysvětlit.

Pro větší jednoduchost předpokládejme, ža spojitá náhodná veličina $X$ nabývající hodnot z množiny $\mathbb{R}$
všech reálných čísel má za hustotu pravděpodobnosti vhodnou spojitou nezápornou funkci $\varrho: \mathbb{R} \to [0 , +\infty)$ ,

takže pro libovolnou lebesgueovsky měřitelnou množinu $M \subseteq \mathbb{R}$ platí

(1) $P(X \in M) = \int_M \varrho(x) \d x$ .

Speciálně pro pravděpodobnost jistého jevu $X \in \mathbb{R}$ musí být

$P(X \in \mathbb{R}) = \int_{\mathbb{R}} \varrho(x) \d x= \int_{-\infty}^{+\infty}\varrho(x) \d x = 1$ ,

(to je nutná vlastnost funkce $\varrho$ ), pro pravděpodobnost nemožného jevu $X\in \emptyset$ dostáváme

$P(X \in \emptyset) = \int_{\emptyset} \varrho(x) \d x = 0$ .

Může se stát, že podle (1) vyjde $P(X \in M) = 1$ , i když $M \subseteq \mathbb{R}$ nebude nutně rovna celé množině $\mathbb{R}$
(takovou dostaneme třeba tak, že z $\mathbb{R}$ odebereme konečný počet bodů). Pak říkáme, že jev $X \in M$ je skoro jistý.

Analogicky když $P(X \in M) = 0$ i pro ne nutně prázdnou množinu $M$ , říkáme, že jev $X \in M$ je skoro nemožný.

Jsou-li $X, Y$ dvě náhodné veličiny, pak relace mezi nimi odpovídá určité podmnožině v $\mathbb{R} \times\mathbb{R}$ , kde za hustotu
pravděpodobnosti bereme součin hustot pravděpodobností daných náhodných veličin, tj. funkci $[x, y] \mapsto \varrho_X(x)\cdot \varrho_Y(y)$
a místo intagrálu (1) použijeme odpovídající integrál dvojrozměrný.