Matematické Fórum

Contemplator · 14. 06. 2015 20:40

Pekný večer, mentori, rád by som vedel či je možné: $\text{tg}^{2}x=\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}$ , ak nie ako inak je možné zjednodušiť: $\sin ^{2}x\cdot \text{cotg}^{2}x+\sin ^{2}x-1$

gadgetka

Ano, vztah je v pořádku.

Využij spíš vztahu:
$\text{cotg}^2x=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}$

Contemplator · 15. 06. 2015 22:04

Ešte som narazil na jeden: $\frac{1}{1+\text{cotg}x}-\frac{\text{tg}x}{1+\text{tg}x}$ Prečo nie je definované pre tieto x $R-\bigcup_{k\in Z}^{}\{k\frac{\pi }{2}:\frac{3}{4}\pi +k\pi \}$ inak povedané: nerozumiem prečo je v množinových zát. 3/4pí;kpí

gadgetka

Ahoj, tady máš odpověď. Zkus to vyřešit: ;)
$1+\text{cotg} x \ne 0 \wedge 1+\text{tg}x\ne 0 \wedge \cos x\ne 0\wedge \sin x\ne 0$

Contemplator

↑ gadgetka: Prepáč, ale nerozumiem tomu, pretože, mi odtial víde: $\text{tg}\not =-1$ , $\text{cotg}\not =-1$ ------- a to je, rôzne od: $\frac{3}{2}\pi +k\pi$ , $k\pi$

$\frac{3}{4}\pi +k\pi$ - odkial je toto.

gadgetka · 16. 06. 2015 20:57

$\text{tg}\not =-1$
$x_0=\frac{\pi}{4}$

Protože jde o druhý kvadrant, základní úhel $x_0$ odečteš od $\pi\Rightarrow x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+k\pi$

gadgetka

$\cos x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi$
$\sin x\ne 0\Rightarrow x\ne k\pi$

Edit: Vymazala jsem své matematicky nelogické myšlenky, abych tě nemátla... :D

misaH · 17. 06. 2015 09:21

↑ gadgetka:

Ale sinx ani cosx nesmú byť 0.

A ani žiaden menovateľ.

Tak asi definičný obor R nebude.

gadgetka

To mi je jasné, já jen přemýšlela nad tím, že grafem je osa x...

Edit: Když se třeba upravuje nějaký algebraický výraz, který jde upravit tak, že ve jmenovateli zmizí neznámá, podmínka tím zmizí též ... pokud by se tento výraz též upravil, výsledkem je 0... proto jsem nad tím přemýšlela tak, jak jsem uvedla... ;)

misaH · 17. 06. 2015 10:16

↑ gadgetka:

:-)

Podmienka nezmizne...

jarrro · 17. 06. 2015 10:17

↑ gadgetka:áno ale je "deravá" v "pár" zlych bodoch

gadgetka · 17. 06. 2015 10:19

I to mě napadlo, ale když to vložím na WA, je tam rovná čára... :D

jarrro · 17. 06. 2015 10:26 — Editoval jarrro (17. 06. 2015 10:29)

↑ gadgetka:lebo mnozina zlych bodov je riedka tak to sa inak ani neda nacrtnut ale napriklad snad nechces tvrdit ze
$\frac{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}=1$

gadgetka · 17. 06. 2015 10:31

Jarro, já vím, že tam ty díry jsou, vím, co je to definiční obor, vím, jak to funguje ... prostě je to jeden z takových těch příkladů, které jsou matematicky silně logické, ale pro mě má ta matematická logika silně nelogické vysvětlení... pochopitelně, že s tebou tou matematickou logikou ve všem souhlasím. :)

misaH · 17. 06. 2015 14:10 — Editoval misaH (17. 06. 2015 14:11)

Keď sa niekto pýta aký je definičný obor, tak dávať chybnú odpoveď by sa nemalo.

Krátiť premennou sa dá len vtedy, ak jej hodnota nie je 0.

Na tom nič divné predsa nie je, je to základná vec.

Contemplator · 17. 06. 2015 21:06

Takže: $\cos x\ne 0\wedge \sin x\ne 0$ táto podmieka tam musí byť pretože: $\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , $\text{cotg}x=\frac{1}{\text{tg}x}$ ? Nechápem prečo som si myslel, že : $\text{tg}x=-1$ je 270°...

Prečo sa to nerovná? - $\frac{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}=1$

jarrro · 18. 06. 2015 09:33

Contemplator napsal(a):
Prečo sa to nerovná? - $\frac{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}=1$

lebo ten zlomok je nedefinovany (nema zmysel ) teda sa nerovna nicomu( dokonca ani sám sebe)

Cheop · 18. 06. 2015 09:41 — Editoval Cheop (18. 06. 2015 09:42)

↑ Contemplator:
$\frac{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}{1-\cos^2{x}-\sin^2{x}}=\\\frac{\sin^2x-\sin^2x}{\sin^2x-\sin^x}=\frac 00$ - neurčitý výraz

Contemplator · 21. 06. 2015 19:52

Prosím vás, tak ako by sa dali odvodiť / dokázať tieto dva vzorce $\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$ $\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$ , takou isto logikou by šiel odvodiť/dokázať aj tento? $\text{tg} 2x=\frac{2\text{tg}x}{1-\text{tg}^{2}x}$ Čo je potrebné vedieť na to aby som to vedel dokázať, ako napr. $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ pomocou Pytagorovej vety a jednotkovej kružnice. Kedže existuje ale vzťah $\text{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ , je ten predošlý vzorec na tg2x ,,nepotrebný´´ ale zaujímalo by ma to :-)

Al1 · 21. 06. 2015 20:30

↑ Contemplator:

Zdravím,

důkazy goniometrických vztahů např. zde

Honzc · 22. 06. 2015 06:16 — Editoval Honzc (22. 06. 2015 06:29)

↑ Contemplator:
Ještě ti ukážu jak jednoduše odvodit vztahy $\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$ a $\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$ pomocí Moievrovy věty: viz třeba Zde
platí:
$(\cos x+i\sin x)^{2}=\cos ^{2}x+2i\sin x\cdot \cos x+i^{2}\sin^{2} x=\cos ^{2}x+2i\sin x\cdot \cos x-\sin^{2} x$
a podleM.v. $(\cos x+i\sin x)^{2}=\cos 2x+i\sin 2x$
Pak už stačí pouze porovnat reálné části a imaginární části a máme
pro $R_{m}:$ $\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
pro $I_{m}:$ $\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$

Dále:
$\text{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$
$\text{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\cdot \cos x}{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}=\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=\frac{2\text{tg}x}{1-\text{tg}^{2}x}$
Poslední vztah není úplně nepotřebný, protože v mnoha úlohách známe tgx a při dalším výpočtu pak potřebujeme počítat s tg2x.

Cheop · 22. 06. 2015 08:49

↑ Honzc:
Zdarec
Tento vztah:
$\text{tg}\,2x=\frac{2\text{tg}x}{1-\text{tg}^{2}x}$ vychází z tohoto vztahu:
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}{1-\text{tg}\,\alpha\cdot\text{tg}\,\beta}$

Honzc · 23. 06. 2015 05:50

↑ Cheop:
Čau,
to vím taky, ale já jsem mu to odvodil jenom z již odvozeného pro sin2x a cos2x

Contemplator

$\frac{2\sin x\cdot \cos x}{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}=\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}$ tá úprava: že to vydelím \cos ^{2}x by mi mala len tak procnúť v hlavičke, aby som si to vedel upraviť na finálny tvar? Keď sa tak zamýšlam nad tým ako to niekto vymyslel...

Contemplator · 25. 06. 2015 21:06

Mohli by ste mi pomôcť s vypočítaním?: Dokáž, že rovnosť platí: $\cos ^{4}x-\sin ^{4}x=\cos 2x$

$\frac{2\cos 2x}{sin2x-2sin^{2}x}=\text{cotg}+1$

$4\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x+\cos ^{2}2x=1$

1. skúšal som to dosť dlho všeliako rozkladať cez vzťahy a nič...
2, 3 neviem s tým pohnúť

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2015 20:40

Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#2 14. 06. 2015 20:45 — Editoval gadgetka (14. 06. 2015 20:46)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#3 15. 06. 2015 22:04

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#4 15. 06. 2015 22:08 — Editoval gadgetka (15. 06. 2015 22:08)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#5 16. 06. 2015 20:34 — Editoval Contemplator (16. 06. 2015 20:40)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#6 16. 06. 2015 20:57

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#7 16. 06. 2015 20:59 — Editoval gadgetka (17. 06. 2015 15:19)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#8 17. 06. 2015 09:21

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#9 17. 06. 2015 10:13 — Editoval gadgetka (17. 06. 2015 10:15)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#10 17. 06. 2015 10:16

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#11 17. 06. 2015 10:17

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#12 17. 06. 2015 10:19

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#13 17. 06. 2015 10:26 — Editoval jarrro (17. 06. 2015 10:29)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#14 17. 06. 2015 10:31

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#15 17. 06. 2015 14:10 — Editoval misaH (17. 06. 2015 14:11)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#16 17. 06. 2015 21:06

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#17 18. 06. 2015 09:33

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

Contemplator napsal(a):

#18 18. 06. 2015 09:41 — Editoval Cheop (18. 06. 2015 09:42)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#19 21. 06. 2015 19:52

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#20 21. 06. 2015 20:30

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#21 22. 06. 2015 06:16 — Editoval Honzc (22. 06. 2015 06:29)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#22 22. 06. 2015 08:49

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#23 23. 06. 2015 05:50

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#24 23. 06. 2015 21:04 — Editoval Contemplator (23. 06. 2015 21:05)

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

#25 25. 06. 2015 21:06

Re: Základné vzťahy medzi goniometrickými funckiami

Zápatí