Matematické Fórum

stereo-total-music · 11. 04. 2015 17:55

Mějme funkci dvou proměnných $f(x,y)$ se spojitými druhými parciálními derivacemi. Jaký je důkaz, že se za nějakých předpokladů rovnají smíšené parciální derivace:
$\frac{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})_{y}}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial (\frac{\partial f}{\partial y})_{x}}{\partial x}(x,y)$

jelena · 12. 04. 2015 13:21

Zdravím,

děkuji za hlášení. Tento materiál (2. kapitola) by měl být dost přehledný k dotazu.

stereo-total-music · 07. 06. 2015 19:20

↑ jelena:
Děkuji za materiál.
Na straně 11 nechápu jednu věc.

Zavedla se funkce:
$\xi (t)=f(\vec{x}+\delta\cdot \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}})-f(\vec{x}+t\cdot \vec{e_{2}})$
a výrazu $V$ se rovná:
$V=\xi (\delta )-\xi (0)$
Podle věty o střední hodnotě platí:
$\xi (\delta )-\xi (0)=\delta \cdot \frac{\mathrm{d\xi } }{\mathrm{dt} }(\vartheta )$
$0<\vartheta <\delta$
ale nechápu, proč by mělo platit:
$\delta \cdot \frac{\mathrm{d\xi } }{\mathrm{dt} }(\vartheta )=\delta \cdot \frac{\partial }{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\delta\cdot \vec{e_{1}}+\vartheta \cdot \vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\vartheta \cdot \vec{e_{2}}))$
(proč se zaměnilo $dt$ za $dx_{2}$ ).
Může to někdo vysvětlit?

jelena · 07. 06. 2015 20:39

Zdravím,

pokud se vrátíš do předchozí kapitoly (do vztahu 5.3) - stačí tak na vyjasnění? Děkuji.

stereo-total-music · 08. 06. 2015 08:42

↑ jelena:
Aha, z výrazu $V$ rovnou vyplývá podle věty o střední hodnotě:
$V=f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\delta \cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}})-f(\vec{x}+\delta \cdot\vec{e_{2}})+f(\vec{x})=\delta (\frac{\partial }{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\vartheta_{1}\cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\vartheta_{2}\cdot\vec{e_{2}})))$
$0<\vartheta _{1,2}<\delta$

a tedy:
$\delta (\frac{\partial }{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\vartheta_{1}\cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\vartheta_{2}\cdot\vec{e_{2}})))=\delta(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}(f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\vartheta \cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\vartheta \cdot\vec{e_{2}})))$
$0<\vartheta _{1,2}<\delta$
$0<\vartheta<\delta$

Ale nevím, proč $\vartheta _{1}=\vartheta _{2}$ . Objasníte prosím?

jelena · 08. 06. 2015 10:49

↑ stereo-total-music:

já to možná nenacházím v odkazech - ale nikde nevidím, že by $\vartheta$ bylo rozkládáno na složky (a jaký by to mělo důvod?), v závěru Tvého prvního řádku ↑ příspěvku 5: bych měla jen $V=...=\delta\frac{\partial }{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\vartheta\cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\vartheta\cdot\vec{e_{2}})))$

vidím to špatně (můžeš, prosím, upřesnit místo v textech, odkud to plyne)? Děkuji.

stereo-total-music · 08. 06. 2015 11:18

↑ jelena:
Nevidím důvod, proč by v obecném případě měly mít $\vartheta _{1,2}$ stejnou hodnotu.
Dokážu si představit funkci $f$ , jejíž parciální derivace $\frac{\partial}{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}))$ a $\frac{\partial}{\partial x_{2}}(f(\vec{x}))$ jsou jiné funkce a $\vartheta _{1,2}$ nejsou stejné hodnoty při platnosti:
$f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\delta \cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}})=\delta (\frac{\partial }{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\delta\cdot\vec{e_{1}}+\vartheta_{1}\cdot\vec{e_{2}})))$
$f(\vec{x}+\delta \cdot\vec{e_{2}})-f(\vec{x})=\delta (\frac{\partial }{\partial x_{2}}(f(\vec{x}+\vartheta_{2}\cdot\vec{e_{2}})))$
Snad jsem to trochu objasnil. Rozumíme si?

jelena · 08. 06. 2015 15:28

↑ stereo-total-music:

děkuji, ale asi nerozumím :-( Když ještě procházím odkaz (od věty 5.7), tak si představím, že zavedení $\xi (t)=f(\vec{x}+\delta\cdot \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}})-f(\vec{x}+t\cdot \vec{e_{2}})$ se převede na parametrický tvar funkce jedné proměnné (konkrétně $x_2$ ), tedy směr tečny funkce jedné proměnné (pokud je hladká) nemůže mít různý v jednom bodě.

Ale možná si to úplně špatně vykládám.

stereo-total-music · 09. 06. 2015 22:23

↑ jelena:
Nerozumím ti, ale zkusil jsem vytvořit obrázek funkce $f(x_{1},x_{2})$ v $\mathbb{R}^{3}$ , kde ukazuji, proč $\vartheta _{1}$ a $\vartheta _{2}$ nemusí být podle mě stejné hodnoty:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-06/81359_smisene-derivace.png

jelena · 11. 06. 2015 10:25 — Editoval jelena (11. 06. 2015 10:44)

Zdravím,

na téma jsem nezapomněla, ještě jsem si prošla odkazy. Řekla bych, že se neshodujeme v tomto pohledu:
v důkazu já rozumím této části tak, že funkce 2 proměnných je převedena na funkci jedné proměnné a pracujeme se střední hodnotou funkce jedné proměnné ( $x_2$ ), proto $V=\xi^{\prime} (\vartheta)\delta$ a až k úpravě na zápis 6.12 (kde pokračujeme s $x_1$ a střední hodnota po $x_1$ , proto máme $\eta e_1$ ), podrobně:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-06/10491_1_stm.JPG

6.12

Obdobně, jako funkci jedné proměnné vyšetříme dle proměnné $x_1$ a dojdeme k $V=\zeta^{\prime} (\bar{\vartheta})\delta$ (a až k úpravě na zápis 6.13). V 2. polovině scanu porovnáme 6.12 a 6.13 a zde ano, zde jsou různí $\vartheta$ (a je to dokonce ve stejném smyslu, jak máš na obrázku), ale je to až závěr důkazu, ne ten krok, který máš na mysli, kde ještě máme jen jednu proměnnou.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-06/10561_stm_2.JPG

Už se rozumíme? Jinak k dotazu jde najít více důkazů, ale když už jsme se zaměřili na konkrétně tento, tak bychom to měli dokončit. Jak to vypadá? Děkuji.

stereo-total-music

↑ jelena:
Já jsem si potřeboval dokázat, že:

Odvodilo se, že platí:
$\frac{\partial (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}))}{\partial x_{2}}(\vec{x}+\bar{\eta}\cdot \vec{e_{1}}+\bar{\vartheta} \cdot \vec{e_{2}})=\frac{\partial (\frac{\partial f}{\partial x_{2}}))}{\partial x_{1}}(\vec{x}+\eta\cdot \vec{e_{1}}+\vartheta \cdot \vec{e_{2}})$
$(\vec{x}+\bar{\eta}\cdot \vec{e_{1}}+\bar{\vartheta} \cdot \vec{e_{2}}),(\vec{x}+\eta\cdot \vec{e_{1}}+\vartheta \cdot \vec{e_{2}})\in U(\vec{x})$
pro libovolné $\delta >0$ a v okolí $U(\vec{x})$ bodu $\vec{x}$ .
Platí to tedy také v limitě $\lim_{\delta \rightarrow 0+}$ a v tom případě:

stereo-total-music

↑ stereo-total-music:
Tedy v limitě platí:

Vlastně ani nevím (nechápu), jestli z tohoto vyplývá rovnost smíšených derivací v bodě $\vec{x}$ .
Jakkoliv malé $\delta_{1} > 0$ si zvolíme, tak pořád existuje menší $\delta_{2} > 0$ s body $(\vec{x}+\bar{\eta}\cdot \vec{e_{1}}+\bar{\vartheta} \cdot \vec{e_{2}}),(\vec{x}+\eta\cdot \vec{e_{1}}+\vartheta \cdot \vec{e_{2}})$ pořád blížšími bodu $\vec{x}$ .
Vyplývá z toho, že se smíšené derivace v bodě $\vec{x}$ rovnají?

jelena · 24. 06. 2015 19:19

Zdravím,

to mi nějak nedává smysl - uvnitř závorky "deltu" nemáš, tedy k čemu se vztahuje taková limita? My jsme diskutovali techniku, která byla použita v odkazu ↑ příspěvek 2:, s použitím věty o střední hodnotě.

1. samotný důkaz - úpravy:

obrázek Zobrazit/skrýt!

2. odvození vztahu pro použití věty o střední hodnotě:

obrázek Zobrazit/skrýt!

Tak co s tím budeme dělat? Nepřijde Tobě např. přehlednější tato úprava (stejná myšlenka)? Ale zas a´t se v tom nezamotáme ještě více.

stereo-total-music

↑ jelena:

to mi nějak nedává smysl - uvnitř závorky "deltu" nemáš, tedy k čemu se vztahuje taková limita?

$\eta ,\vartheta ,\bar{\eta}, \bar{\vartheta }$ jsou samozřejmě vždy menší, než $\delta$ a proto když jde delta k nule ( $\delta \rightarrow 0^{+}$ ), tak jdou i tyto hodnoty k nule.

Myslím, že už jsem důkaz pochopil. Pakliže vždy existuje $\delta_{2}>0$ menší než $\delta_{1}>0, \delta_{2}<\delta_{1}$ a smíšené derivace jsou na okolí $U(\vec{x})$ spojité, tak z toho vyplývá rovnost smíšených derivací v bodě $\vec{x}$ .

Tím bych to ukončil, já už v tom mám celkem jasno. Děkuji ti za věnovaný čas :-)

jelena · 25. 06. 2015 16:05

↑ stereo-total-music:

také děkuji, ano $\vartheta$ (a další) jsou dle podmínky $0<\vartheta<\delta$ (v odkazu odvození o střední hodnotě), potom souhlasí. Jen tak pro zajímavost - jak se dokazuje i s využitím integrálu.

Děkuji za označení tématu za vyřešené :-)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2015 17:55

Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#2 12. 04. 2015 13:21

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#3 07. 06. 2015 19:20

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#4 07. 06. 2015 20:39

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#5 08. 06. 2015 08:42

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#6 08. 06. 2015 10:49

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#7 08. 06. 2015 11:18

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#8 08. 06. 2015 15:28

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#9 09. 06. 2015 22:23

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#10 11. 06. 2015 10:25 — Editoval jelena (11. 06. 2015 10:44)

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#11 23. 06. 2015 10:48 — Editoval stereo-total-music (24. 06. 2015 15:59)

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#12 23. 06. 2015 11:02 — Editoval stereo-total-music (23. 06. 2015 11:12) Příspěvek uživatele stereo-total-music byl skryt uživatelem stereo-total-music. Důvod: rovnost neplatí, neboť napravo chybí delta

#13 23. 06. 2015 11:13 — Editoval stereo-total-music (23. 06. 2015 14:15)

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#14 24. 06. 2015 19:19

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#15 25. 06. 2015 13:13 — Editoval stereo-total-music (25. 06. 2015 13:14)

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

#16 25. 06. 2015 16:05

Re: Důkaz rovnosti smíšených parciálních derivací

Zápatí