Matematické Fórum

xstudentíkx · 30. 06. 2015 14:29

Ahoj,

potřebuji trochu popostrčit s tímto příkladem. Mám vyjádřit jednoduchým vzorcem bez použití sumy.

$\sum_{k=1}^{n}{k\choose m}\frac{1}{k}$

dostanu tedy: ${1\choose m}+{2\choose m}\frac{1}{2}+{3\choose m}\frac{1}{3}+\ldots +{n\choose m}\frac{1}{n}$ . Nevím jak mám brát to m. A hlavně pokud bych dala $m>1$ , tak dostanu v prvním členu součtu záporný faktoriál. Takový příklad řeším poprvé a potřebuji trochu nasměrovat, nejspíš na to jdu špatně.

Andrejka3 · 30. 06. 2015 14:51

↑ xstudentíkx:
Ahoj, Pokud definuješ ${k\choose m}$ jako počet všech $m$ -prvkových podmnožin $k$ -prvkové množiny, není problém v případě, kdy $k<m$ . Tak je to myšleno. Kolik má $1$ -prvková množina $2$ -prvkových podmnožin?

xstudentíkx · 30. 06. 2015 15:03

↑ Andrejka3:

Dobře, takže pak 1-prvková množina nemá žádnou dvouprvkovou podmnožinu. Pokud zvolím například m=5, tak bude mít pro první 4 členy nulu a pro dalších n už dostanu určité výsledky. Teď se ještě dostat k tomu vzorci.

Andrejka3

↑ xstudentíkx:
Přesně tak. Proto je
$\sum_{k=1}^{n}{k\choose m}\frac{1}{k}=\sum_{k=m}^n{k\choose m}\frac{1}{k}$ (automaticky pro n<m pokládáme sumu rovnou nule). Smysl má brát $m\geq 0$ , nicméně zadání je určitě myšleno pro $m\geq 1$ (nula je řešena zvlášť v jiném příkladu).
Nyní už je možné použít známý vzoreček ${k\choose m}=\frac{k!}{m!(k-m)!}$ .