Matematické Fórum

Marara · 01. 07. 2015 11:28

Dobrý den,
mám zadaný příklad: Množina G = { [ a b 0 ]
[ 0 c 0 ]
[ 0 0 d ], kde prvky a, b, c jsou ze Z3 (počítáme modulo 3), a determinant této matice je roven 1}. Určete počet a popis ireducibilních reprezentací a jejich maticový popis.
Moc nevím, jak při tomto příkladu postupovat, proto bych chtěl poprosit o radu.

OiBobik

Čau,

nevím, jak moc matiky kolem reprezentací znáš, takže těžko říci, nakolik bude pro tebe následující odpověď relevantní.

Předně, jelikož neříkáš, nad jakým tělesem by sis ty reprezentace představoval/a, budu předpokládat, že myslíš komplexní reprezentace.

Máme tedy konečnou grupu $G$ a chceme znát její komplexní irrep's. K tomu se standardně používají následující akumulace několika vět:

Regulární reprezentace $G$ , tj. reprezentace $\rho: G \rightarrow GL(\mathbb{C}^{G}), \;\; \rho(g)(f)(h)=f(g^{-1}h)$ , je totálně rozložitelná, tj. rozkládá se na direktní sumu ireducibilních podreprezentací. Navíc, pokud zafixujeme jeden takový rozklad, pak každá irr reprezentace $\sigma$ je v něm obsažena (tj. jako nějaká isomorfní kopie) tolikrát, kolik je její stupeň $n_{\sigma}$ . Speciálně počítáním dimenze $\rho$ dvěma způsoby dostáváme, že $\sum_{\sigma} n_{\sigma}^2=|G|$ . Dále počet těchto irrep's je roven počtu tříd konjugovaných prvků v grupě $G$ . Speciálně z toho člověk např. vykouká, že nekomutativní grupa musí mít irrep. vyššího stupně, než 1.

Jak velikost té tvé grupy, tak počet tříd konjugace by neměl být problém explicitně spočítat, nepletu-li se. Začal bych tedy tím, aby člověk věděl, jak velké a kolik irrep's hledá. Pak má teprv cenu hledat nějakou maticovou podobu těch jednotlivých reprezentací.

Matematické Fórum

#1 01. 07. 2015 11:28

Ireducibilní reprezentace

#2 01. 07. 2015 17:30 — Editoval OiBobik (01. 07. 2015 17:37)

Re: Ireducibilní reprezentace

Zápatí