Matematické Fórum

aflotun · 02. 07. 2015 13:14

Dobrý den,
nemohl jsem vyřešit okrajovou úlohu:

$-u''(x)+g(u(x))=f(x) \ pro \ x\in (0.1), u(0)=u(1)=0,$

kde $f \in C(\langle 0,1 \rangle )$ a funkce $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je lipschitzovsky spojitá na $\mathbb{R}$ , tzn. že

$(\exists q \ge 0) (\forall \ t,s \in \mathbb{R}): \ |g(t)-g(s)|\le \ q|t-s|.$

Buď nyní $v \in C(\langle 0,1 \rangle )$ libovolná (pevně zvolená) funkce a hledejme funkci $u \in C^2(\langle 0,1 \rangle )$ , která řeší lineární okrajovou úlohu

$-u''(x)+g(v(x))=f(x) \ pro \ x\in (0.1), u(0)=u(1)=0.$

Lze se přesvědčit, že jediným řešením je funkce

$u(x)= \int_{0}^{1}K(x,t)(f(t)-g(v(t)))dt,$

kde

$K(x,t)=(1-x)t \ pro \ 0\le t \le x \le 1,$

$K(x,t)=x(1-t) \ pro \ 0\le x < t \le 1.$

Předem děkuji za pomoci.
Aflotun.

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2015 13:14

okrajová úloha

Zápatí