Matematické Fórum

Freedy · 03. 07. 2015 09:55

Zdravím,

našel jsem takový pěkně vypadající příklad, bohužel však bez řešení. Já osobně řešení neznám, nevím ani, zda-li existuje, avšak pokud by měl někdo zájem i o prázdninách trošku zapřemýšlet, tak zde je:
Pro $a,b\in \mathbb{N}$ řešte:
$a^a+a!=b^2$

Hodně štěstí.
Zdroj

byk7 · 17. 10. 2015 19:07

Platí
$\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor^2<a^a+a!&=$\sqrt{a^a+a!-1}-1$^2+2\sqrt{a^a+a!-1}< \\ &<\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor^2+2\sqrt{a^a+a!-1}< \\ &<\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor^2+2$\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor+1$= \\ &=$\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor+1$^2+1$
odtud plyne, že pokud má zadaná rovnice řešení, pak nutně $b=\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor+1$

Teď ale nevím, jak dál. Za předpokladu, že rovnice nemá řešení by možná stálo za pokus nějakou indukcí dokázat, že $\sqrt{a^a+a!}<b$ . Popř. si zkusit nahradit $a!$ nějakým odhadem pomocí Stirlingova vzorce.

Matematické Fórum

#1 03. 07. 2015 09:55

Rovnice s celočíselným řešením

#2 17. 10. 2015 19:07

Re: Rovnice s celočíselným řešením

Zápatí