Matematické Fórum

Nikdo Ok. · 09. 07. 2015 21:06

Komplexní čísla jsme brali na střední, takže to patří tuším sem.

Včera jsem jel autobusem a v hlavě jsem si hrál s čísly. Při tom jsem narazil na jednu nesrovnalost:

$2\sqrt{-1} = \mp 2i$

Tohle jsme se učili ve škole a v podstatě jsem totéž našel i na wikipedii. Vyplývá to i ze součtu:

$2\sqrt{-1} = \sqrt{-1} + \sqrt{-1} = i + i = 2i$
$2\sqrt{-1} = \sqrt{-1} + \sqrt{-1} = -i - i = -2i$

Pak jsem to ale zkombinoval a vznikl mi nesmysl:

$2\sqrt{-1} = \sqrt{-1} + \sqrt{-1} = -i + i = 0$

Je nějaký matematický důvod, proč tohle nemůžu udělat? Jak vlastně v praxi (ve fyzice) poznám, kdy bude i kladné a kdy záporné?

jarrro · 09. 07. 2015 22:23

nikdy som sa komplexnou analýzou nezaoberal preto to ber s rezervou, ale myslím si, že komplexné funkcie majú tzv vetvy a keď sa vyhodnocuje nejaký výraz obsahujúci danú funkciu tak sa musí pri každom výskyte funkcie v danom výraze použiť rovnaká vetva.

Al1 · 10. 07. 2015 13:40 — Editoval Al1 (10. 07. 2015 15:00)

Zdravím,

ve středoškolské matematice se určují odmocniny ze záporných čísel takto:
$\sqrt{-1}=i; \sqrt{-4}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{4}=2i; \sqrt{-11}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{11}=i\sqrt{11}$ atd.

Pravda ale také je, že řešení binomické rovnice $z^{2}=-1$ jsou dvě, a to $\pm i$

Vysvětlení tvého "problému" je hezky podané zde

Eratosthenes

ahoj ↑ Nikdo Ok.:,

tvoje "součty"

$\sqrt{-1} + \sqrt{-1} = i + i$

$\sqrt{-1} + \sqrt{-1} = -i - i$

nejsou součty, ale nesmysly. Symbol $\sqrt{-1}$ totiž nedefinuje číslo, ale množinu čísel. A součet dvou množin nelze rozumně definovat.

Jestliže by totiž bylo $\sqrt{-1} = i$ a současně $\sqrt{-1} = -i$ , pak sečtením obou rovností dostanu rovněž

$2\sqrt{-1} = 0 \Rightarrow \sqrt{-1} = 0$

A budu-li v tom žonglování pokračovat, může být $\sqrt{-1}$ rovna čemukoliv, co si vymyslíš.

Sečteš-li dvě čísla, nutně musíš dostat jediný výsledek. Jinak sečítání není sečítání. Tvoje "sečítání" odmocnin komplexních čísel "funguje" tak, že "sečtením" dvou "stejných čísel" dostaneš víc různých výsledků. Proto není dovoleno. Podobně je to s odčítáním, násobením a dělením odmocnin z komplexních čísel - prostě není dovoleno.

Je to něco jako kdybys řekl:

liché číslo + liché číslo = 3 + 3 = 6

ale taky

liché číslo + liché číslo = 5 + 11 = 16

Jak to, že jsem dostal dva různé výsledky?

Jednoduše proto, že nemůžeš napsat ani "liché číslo + liché číslo = 5 + 11" , ani "liché číslo + liché číslo = 3 + 3", protože obojí je špatně.

check_drummer · 11. 07. 2015 18:39

Ahoj

Eratosthenes napsal(a):
...A součet dvou množin nelze rozumně definovat.

Je to sice vytrženo z konextu, ale součet dvou množin definovat lze - je to ovšem množina nikoli číslo. (Teď pominu to, že v teorii množin je vše množina, i číslo.. :-)) (A+B={a+b; a z A, b z B}).

Eratosthenes

ahoj ↑ check_drummer:,

já jsem neřekl, že součet množin nelze definovat. Definovat můžeš samozřejmě cokoliv a jakkoliv. Můžu třeba prohlásit, že součet dvou libovolných množin je roven tlakové níži nad Azorami. Já jsem řekl, že součet množin nelze r o z u m n ě definovat. Pokud bych chtěl sčítání, které jsi uvedl, považovat za rozumné a očekával od něj "rozumné" chování, daleko bych asi nedošel. Například:

$\sqrt {-1} + \emptyset = \emptyset$
$\sqrt {-1} + \emptyset = \{0\} + \emptyset$
$\sqrt {-1} = \{0\}$

Podobně bych mohl odvodit, že $\sqrt {-1}$ je rovno jakékoliv množině, kterou si lze jen vymyslet.

A propos - máš samozřejmě pravdu - každé číslo je množina, ovšem množina velmi speciální. A na těchto speciálních množinách je sečítání samozřejmě rozumné. Potíž je v tom, že ne každá množina čísel je číslo. A Tvoje "sečítání množin" není sečítání čísel. Vezmu-li totiž čísla jako množiny a nasadím na ně Tvoje sčítání, pak pro každé číslo a je a+0=0; a+1 =a a podobné veselosti. A to není o nic rozumnější než ta tlaková níže nad Azorami.

check_drummer · 12. 07. 2015 19:05

↑ Eratosthenes:
Definice součtu množin, kterou jsem uvedl, se celkem běžně používá, a z tohoto pohledu je tedy vcelku rozumná.

Eratosthenes · 12. 07. 2015 19:20

↑ check_drummer:

To je samozřejmě věc názoru. V komplexní proměnné se například celkem běžně - přesněji řečeno zcela masově - používá definice víceznačné funkce. Přesto tuto definici nepovažuji za rozumnou, ale právě naopak. Podle mě je to definice zcela debilní.

check_drummer · 13. 07. 2015 00:59

↑ Eratosthenes:
Jak bys tedy definoval víceznačnou funkci ty? To, že je to významný pojem, o tom asi není sporu.

Eratosthenes · 13. 07. 2015 10:15

↑ check_drummer:

Považuješ-li víceznačnou funkci za významný pojem, tak to já se budu přít, seč mi síly budou stačit. Je to totiž pojem asi stejně významný, jako složené prvočíslo, racionální pí a protáhlý čtverec. Každý by měl vědět, že "protáhlý čtverec" není žádný čtverec ale (nejspíš) obdélník. Stejně tak by každý měl vědět, že "víceznačná funkce" není žádná funkce, ale pouze relace.

vanok · 13. 07. 2015 13:10 — Editoval vanok (13. 07. 2015 13:20)

pozdravujem,
vidim, ze je tu uplne zbytocna polemika.

co sa tyka strednej skoly kolega ↑ Eratosthenes: ma iste pravdu. Taky pojem nie je urcite v osnovach strednej skoly.
co sa tyka matematiky, to ma iste pravdu kolega ↑ check_drummer:.
ide o dolezity pojem, co mal a aj ma dolezitu ulohu vo viacerych oblastiach matematiky
pre neveriacich sa staci napisat na gogle "multivalued function and riemann surface" a uz len to ukaze dolezitost pojmu multivalued function....

Pekne prazdniny.

Eratosthenes · 14. 07. 2015 09:10

↑ vanok:

Bezva! Takže milý ↑ Nikdo Ok.:, až půjdeš studovat na vysokou, mozek nechej na střední. To, co je v osnovách pro střední školy, totiž v matematice neplatí. Matematika má jiné pravdy, než nějaká střední škola. V matematice nejsou žádné relace, paraboly, ani pondělky či středy. Jsou zde víceznačné funkce, jednoohniskové elipsy a opožděné pondělky, či naopak předčasné středy. A dokazovat nemusíš ani přímo, ani nepřímo, natož nějakou pitomou indukcí. Důkazy se provádějí všelidovým hlasováním na internetu.

Howgh!

vanok · 14. 07. 2015 10:34

↑ Eratosthenes:
Ahoj. Aky humor. ( ak je to humor?)
Preco chces delit vysokoskolsku, stredoskolsku a inu matematiku?
Vsetko treba pozerat v celom kontexte.
Ak sa ti zda nejaka definicia debilna, to je tvoj nazor a nikto ti tvoj nazor neberie...
V niecom mas, podla mna pravdu, to co ta na istej urovni ucili, mozes za urcirych okolnosti zabudnut ( priklad pocitat na prstovch 2+3, ak to vies casom inac riesit)
Hlasovat o blbostiach, to som si myslel, ze to patri minulosti... Asi som priliz stara generacia...

To co si vyjadril v tvojom prispevku , nema ozaj ziadny suvis z tym co som vysie napisal.
Pekny den

Rumburak

↑ Nikdo Ok.:, ↑ Eratosthenes:, ↑ vanok:

Ahoj.

Problém podle mne začíná v algebraickém názvosloví, kdy $n$ - tými odmocninami z (komplexního) čísla $a$ se často nazývají
VŠECHNY kořeny binomické rovnice $z^n = a$ s přirozeným číslem $n$ . Speciálně tedy druhými odmocninami ze 4 pak jsou
čísla 2 , -2 a pod. V zápise je vhodné jednotlivá řešení rozlišovat, např. $2 = {\sqrt{}}_0(4)$ , $-2 = {\sqrt{}}_1(4)$ (omlouvám se za
nedokonalou grafiku) podle obecných pravidel, která není obtížné stanovit. K tomu možno připojit konvenci $\sqrt[n]{a} := {\sqrt[n]{}}_0(a)$ .
Smozřejmě pak $x \mapsto {\sqrt{}}_0(x)$ , $x \mapsto {\sqrt{}}_1(x)$ by byly dvě různé funkce, které nelze zaměňovat.