Matematické Fórum

ewer12 · 15. 07. 2015 21:11

Ahoj
Všiml jsem si, že faktoriál nikdy není čtverec nějakého přirozeného čísla, a vím, že důvod je takový, že v prvočíselném rozkladu faktoriálu je vždy nejvyšší prvočíslo pouze v první mocnině a než se "donásobíte" k jeho dalšímu výskytu(jeho dvojnásobku), narazíte na nové prvočíslo a problém se opakuje.
Nevím ale, proč vždy na nové prvočíslo narazím a zdali je možné dokázat, že na něj vždy narazím. Mohl by mi někdo poradit?
Děkuji.

check_drummer

Ahoj, snad pomůže toto.
Otázka je, zda tu berečtvercovost není možné dokázat snadněji. Edit: škrtnuta nepravdivá věta.

Al1 · 15. 07. 2015 22:28

↑ ewer12:

Zdravím,

pro dva faktoriály určitě najdeme čtverec

$0!=1=1^{2}$
$1!=1=1^{2}$

misaH · 15. 07. 2015 23:03

↑ Al1:

Prvočíselný rozklad faktoriálu.

Al1 · 16. 07. 2015 10:06

↑ misaH:

Reakce na

Všiml jsem si, že faktoriál nikdy není čtverec nějakého přirozeného čísla

:-)

Andrejka3

Aby $2\mid \nu_p(n!)$ , musí být $mp\le n<(m+2)p$ , kde $m\equiv_43$ ?, kde $\nu_p(x)$ je mocnina prvočísla v rozkladu x.
edit: znaceni.

ewer12 · 16. 07. 2015 12:17 — Editoval ewer12 (16. 07. 2015 12:18)

↑ check_drummer:
Velice pěkná věta(v odkazu), jednodušší důkaz se stále snažím nalézt.
↑ Al1:↑ misaH:
Byl jsem trochu nepřesný, samozřejmě jsem myslel jiné čtverce než 0! a 1!. :)
↑ Andrejka3:
Nemá $\nu_p(x)$ být exponent prvočísla v rozkladu x?
A to se ptáš nebo mi radíš? :)
Každopádně mi to připadá pravdivé, dokázat to zatím nedokážu.

Andrejka3 · 16. 07. 2015 12:27

↑ ewer12:
To je asi pravda. Možná to jde využít takhle: pro každé prvočíslo ta podmínka definuje množinu vhodných čísel (sjednocení nějakých intervalů), označme ji $M_p$ . Mohlo by být třeba $M_2\cap M_3\cap M_5=\emptyset$ . Nebo taky ne...

misaH · 16. 07. 2015 12:32

↑ Al1:

:-)

vanok · 16. 07. 2015 12:49

Mala poznamka:
↑ ewer12:
ahoj, rada od ↑ check_drummer:, ....
ze vzdy existuje aspon jedno prvocislo p, take, ze $n < p < 2n$
uplne staci na hladany dokaz.

ewer12 · 16. 07. 2015 12:59

↑ vanok:
To už se mi podařilo, ale vzhledem k tomu, že důkazu pro $n < p < 2n$ plně nerozumím, hledám nějaké alternativní řešení, abych se nemusel spoléhat na něco, čemu nerozumím.

vanok · 16. 07. 2015 13:53

↑ ewer12:
Ahoj, pouzitim danej vlasnosti dokaz je jednoduchy.
Jeden jej dokaz je tu http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/ … ate.shtml. ( da ti to trochu prace, ale aj radosti ze mozes zvladnut taky dokaz )

Inac doporucujem prazdninove citanie
(na internete je dostupna tato kniha), 250 Problems in Elementary Number Theory od Sierpinskeho. je tam vela cviceni pristupnych pre stredoskolakov. oplati sa ju pozriet.

ewer12 · 16. 07. 2015 18:30 — Editoval ewer12 (16. 07. 2015 18:31)

Na odkaz i knihu se rozhodně podívám, díky za rady.

Matematické Fórum

#1 15. 07. 2015 21:11

Faktoriál a čtverce

#2 15. 07. 2015 22:18 — Editoval check_drummer (16. 07. 2015 00:41)

Re: Faktoriál a čtverce

#3 15. 07. 2015 22:28

Re: Faktoriál a čtverce

#4 15. 07. 2015 23:03

Re: Faktoriál a čtverce

#5 16. 07. 2015 10:06

Re: Faktoriál a čtverce

#6 16. 07. 2015 10:25 — Editoval Andrejka3 (16. 07. 2015 11:00)

Re: Faktoriál a čtverce

#7 16. 07. 2015 12:17 — Editoval ewer12 (16. 07. 2015 12:18)

Re: Faktoriál a čtverce

#8 16. 07. 2015 12:27

Re: Faktoriál a čtverce

#9 16. 07. 2015 12:32

Re: Faktoriál a čtverce

#10 16. 07. 2015 12:49

Re: Faktoriál a čtverce

#11 16. 07. 2015 12:59

Re: Faktoriál a čtverce

#12 16. 07. 2015 13:53

Re: Faktoriál a čtverce

#13 16. 07. 2015 18:30 — Editoval ewer12 (16. 07. 2015 18:31)

Re: Faktoriál a čtverce

Zápatí