Matematické Fórum

kiki23 · 28. 07. 2015 17:00

Součet všech řešení goniometrické rovnice
$sin\frac{x}{2} + cos x -1=0$

Můžu prosím celý postup, jsem ztracená at dělám co dělám. Soušet všech řešení má nakonec vyjít 2pí

Freedy · 28. 07. 2015 17:35

Ahoj,

pokud si označíš $\frac{x}{2}=a$ potom můžeš danou rovnici přepsat jako:
$\sin a+\cos 2a-1=0$
Jelikož $\cos 2a = \underbrace{\cos ^2a}_{1-\sin ^2a}-\sin ^2a=1-2\sin ^2a$
tak můžeš danou rovnici upravit na:
$\sin a+(1-2\sin ^2a)-1=0$ >>> $\sin a-2\sin ^2a=0$
nyní už stačí jenom vytknout sin(a) a zjišťovat, kdy je součin roven nule. Na závěr je potřeba se samozřejmě vrátit ke substituci.

PS: Součet všech řešení gon. rce by měl být zadán na nějakém intervalu. Ten jsi v zadání nenapsala.

kiki23 · 28. 07. 2015 17:54

↑ Freedy:¨
do téhle fáze výpočtu jsem se nakonec dostala ale dál už to nevychází, nikdy mi vysledky dohromady nedají 2pí, mohla bych poprosit o zbytek výpočtu? Je to na intervalu (0,2pí) Děkuju

Cheop · 28. 07. 2015 18:16

↑ kiki23:
$\sin a-2\sin ^2a=0\\\sin\,a(1-2\sin\,a)=0$
1)
$\sin\,a=0\\a=\pi\\\frac x2=\pi\\x=2\pi$ - není řešení, protože řešení má být na otevřeném intervali (0,2 pí)
2)
$1-2\sin\,a=0\\\sin\,a=\frac12\\a_1=\frac{\pi}{6}\\\frac{x_1}{2}=\frac{\pi}{6}\\x_1=\frac{\pi}{3}\\a_2=\frac{5\pi}{6}\\\frac{x_2}{2}=\frac{5\pi}{6}\\x_2=\frac{5\pi}{3}$
$x_1+x_2=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}=2\pi$

Matematické Fórum

#1 28. 07. 2015 17:00

Goniometrická rovnice

#2 28. 07. 2015 17:35

Re: Goniometrická rovnice

#3 28. 07. 2015 17:54

Re: Goniometrická rovnice

#4 28. 07. 2015 18:16

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí