Matematické Fórum

janusz · 29. 07. 2015 08:49

Dobrý den,

nemůžu rozlousknout následující příklad. Zkusil jsem se k lim bodu blížit po přímkách, parabolách i transformaci do polárních souřadnic, ale pořád mi to vychází "0/0" Podle výsledků to má vyjít 2.

$\lim_{x,y\to0,2}\frac{\mathrm{e}^{xy}-1}{x}$

když se pokusím blížit k bodu po přímkách, vychází mi to

$\lim_{x\to2}\frac{e^{4}-1}{4}$

a v polárních souřadnicích

$\lim_{\varrho \to2}\frac{e^{\varrho ^{2}\sin \varphi \cos \varphi }-1}{\varrho \cos \varphi }$

Nevím, jeslti nedělám někde blbě tu substituci nebo něco jiného, prosím o radu.

Děkuji

jelena · 29. 07. 2015 10:24

Zdravím,

$\lim_{x\to2}\frac{e^{4}-1}{4}$

to se mi nezdá, že by tak vycházelo pro přímku (předpokládám $y=2+kx$ (?)), navíc x není ke 2, ale k 0. Za použití uvedené přímky měl bys po menší úpravě mít k použití limitu typu - viz 3 řádek tabulkových). Souhlasí to? Děkuji.

janusz · 29. 07. 2015 11:11

jej to jsem napsal blbě. Mělo by to tedy být asi

$\lim_{x\to0}\frac{e^{kx^{2}}-1}{x}$

ale to tomu třetímu řádku úplně neodpovídá, nebo jo? přijde mi, že to stále hází neurč. výraz.

myslel jsem, že když se blížím po přímce, za y substituuji např. y = kx a lim nesmí být závislá na k, aby to bylo stejnoměrný..

a ten převod do polárních je dobře?

Díky za trpělivost.

jelena · 29. 07. 2015 11:48 — Editoval jelena (29. 07. 2015 12:00)

janusz napsal(a):
myslel jsem, že když se blížím po přímce, za y substituuji např. y = kx a lim nesmí být závislá na k, aby to bylo stejnoměrný..

přímka musí být zapsána tak, abys "prošel" zadaným bodem [0, 2], tedy nebude "například", ale zcela konkrétní dle předpisu y=y_0+k(x-x_0), zde $y=2+kx$ . Když dosadíš všechno, tak zlomek můžeš rozšířit výrazem $(2+kx)$ a zavést substituci $x(2+kx)=u$ , to "vyčlení" požadovanou tabulkovou limitu. V rozšíření čitatele bude $2+kx$ , pro x k 0 nebude závisle na k.

Edit: rozšíření a následně tabulkový vzorec bude fungovat i bez zavedení přímek (jen rozšíření y/y).

Do polárních - můžeš mít i tak, jak jsi převedl + podmínky pro $\rho$ , $\phi$ , ale tak řekneš, že se blížíš po kružnici se středem [0,0], což podlé mého nebude správné okolí bodu, musel bys ho usadit do středu, v takovém zadání bych asi převod do polárních nepoužila.

janusz · 29. 07. 2015 12:45

aha, takže jestli to dobře chápu, musí to být po dosazení

$\lim_{x\to0}\frac{e^{x(2+kx)}-1}{x}$

.. potom rozšíření (2+kx)

$\lim_{x\to0}\frac{(e^{x(2+kx)}-1)(2+kx)}{x(2+kx)}$

ale teď když udělam substituci x(2+kx) tam vyjde

$\lim_{u\to0}\frac{(e^{u}-1)(2+kx)}{u}$

ale to (2+kx) v čitateli mi tam zůstane..

je teda možný vzít tu první část jako tu tabulkovou lim = 1 a ten zbytek (2+kx) pro x = 0 je 2?

jelena · 29. 07. 2015 14:03

↑ janusz:

můžeš to spíš formálně rozepsat na součin limit
$\lim_{x\to0}\frac{(e^{x(2+kx)}-1)(2+kx)}{x(2+kx)}=\lim_{x\to0}\frac{(e^{x(2+kx)}-1)}{x(2+kx)}\cdot \lim_{x\to0}(2+kx)$
a každou limitu vyšetřit samostatně (první s použitím substituce), potom opět sepsat k sobě. Jinak - rychlejší - viz můj edit v ↑ příspěvku 4:.

Edit: rozšíření a následně tabulkový vzorec bude fungovat i bez zavedení přímek (jen rozšíření y/y).

janusz · 29. 07. 2015 14:25

super už mi to doběhlo, díky moc za trpělivost:)

vanok · 29. 07. 2015 15:03

↑ janusz:
Ahoj, zvovodni tento postup
$\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\mathrm{e}^{xy}-1}{x} =\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\mathrm{e}^{xy}-1}{xy} .y=1.2=2$

janusz · 29. 07. 2015 15:50

pokud tomu rozumím dobře, jde tedy opět o tabulkovou limitu $y \lim_{x\to0}\frac{e^{xy}}{xy}$
lim vyjde 1 a y = 2 tzn. výsledek = 2..

vanok · 29. 07. 2015 22:48 — Editoval vanok (29. 07. 2015 22:48)

Ahoj ↑ janusz:, tvoja uprava nie je dobra.
Tabulkova limita ktora sa da pouzit je presne ta ako poradena tu ↑ jelena:

janusz · 29. 07. 2015 23:56

ano, špatně jsem to napsal, ale měl jsem na mysli to samé, už je toho na mě nějak moc :)

děkuji všem.

Matematické Fórum

#1 29. 07. 2015 08:49

Lim fce dvou neznámých

#2 29. 07. 2015 10:24

Re: Lim fce dvou neznámých

#3 29. 07. 2015 11:11

Re: Lim fce dvou neznámých

#4 29. 07. 2015 11:48 — Editoval jelena (29. 07. 2015 12:00)

Re: Lim fce dvou neznámých

janusz napsal(a):

#5 29. 07. 2015 12:45

Re: Lim fce dvou neznámých

#6 29. 07. 2015 14:03

Re: Lim fce dvou neznámých

#7 29. 07. 2015 14:25

Re: Lim fce dvou neznámých

#8 29. 07. 2015 15:03

Re: Lim fce dvou neznámých

#9 29. 07. 2015 15:50

Re: Lim fce dvou neznámých

#10 29. 07. 2015 22:48 — Editoval vanok (29. 07. 2015 22:48)

Re: Lim fce dvou neznámých

#11 29. 07. 2015 23:56

Re: Lim fce dvou neznámých

Zápatí