Matematické Fórum

kiki23 · 29. 07. 2015 17:56

Ahoj,
mohl by mi někdo poradit s touto goniometrickou rovnicí?

$\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} = -\sin x$

zavedla jsem substituci a= $\frac{x}{2}$

a dostala jsem $\sin a = 0$ a $\cos a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

dál už mi to nevychází (teda pokud to mám dobře)

součet všech řešení má být $\frac{3\pi }{2}$

Jj · 29. 07. 2015 18:12

kiki23 napsal(a):
Ahoj,

součet všech řešení má být $\frac{3\pi }{2}$

Dobrý den. Řekl bych, že bez udání intervalu, v němž se mají řešení sčítat, je to o ničem.

Ovšem výpočty, které jste uvedla, jsou správné.

kiki23 · 29. 07. 2015 18:24

↑ Jj:
Má se to řešit v $(0;2\pi )$ zapoměla jsem to napsat.

Flaky · 29. 07. 2015 18:50

↑ kiki23:

V tomto případě řešení vyplývající z rovnosti $sin(a)=0$ , tedy $x=k2\pi$ , nepatří do množiny řešení.
Obdobně ze dvou možných řešení pro $cos(a)=-1/\sqrt{2}$ , konkrétně a) $x=(3/2)\pi +k4\pi$
b) $x=(5/2)\pi +k4\pi$
vyloučíme zcela řešení b) a vybereme pouze vhodné řešení z a), tedy pro k=0.

kiki23 · 29. 07. 2015 18:56

Ahoj, proč sis to napsal takle?
↑ Flaky: $cos(a)=-1/\sqrt{2}$

A zbytek nechápu, nešlo by prosím postup jak sme našli řešení toho cosa ?

Flaky · 29. 07. 2015 19:06 — Editoval Flaky (29. 07. 2015 21:06)

↑ kiki23:

Zaprvé : $-1/\sqrt{2}=-\sqrt{2}/2$ .

K postupu: Z rovnosti $sin(a)=0$ dostáváme možná řešení $0+k\pi$ . Musíme se ovšem navrátit ze substituce, tedy dostáváme rovnost: $a=x/2=0+k\pi$ a odtud $x=k2\pi$ (podobně provedeme i pro případ b)).
Nyní musíme ovšem naše řešení brát vzhledem k podmínce, že řešení mají spadat do intervalu $(0,2\pi )$ .
Řešení $x=k2\pi$ pro $k=0,1,...$ nevyhovuje. obdobně vypadne i řešení za b) a jediné řešení možné je řešení a) pro k=0.

Ke konkrétnímu řešení pro cosinus: Vyjdeme z jednotkové kružnice, na které si (protože cosinus je "x-ová" funkce) vyznačíme hodnotu $-1/\sqrt{2}$ přibližně takto //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-07/96478_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.JPG . Evidentně nám pro tuto hodnotu vyhovují dva úhly $(3/4)\pi +k2\pi$ a $(5/4)\pi +k2\pi$ . Dále se vrátíme ze substituce popsané výše.