Matematické Fórum

janusz · 29. 07. 2015 17:31

Dobrý den,

mám ještě jeden dotaz na toto téma. Jedná se o fci

$\lim_{x,y\to1,1}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}$

je mi jasné, že fce má v tomto bodě lim 1/2, možno pouze dosadit.

Chtěl jsem se ale zeptat, pokud bych se k bodu chtěl blížit po přímkách, jak na to. Zkusil jsem dosadit za y přímku, kt. bodem (1,1) prochází tedy y = kx. Jde mi ale o to, že tato rovnice platí jen v případě k = 1.

Po dosazení vyjde $\frac{kx}{x^{2}+k^{2}}$

což je ale zřejmě nesmysl, protože to by dokazovalo neexistenci limity.

Prosím tedy o radu, jak sestavit rovnici pro dané přímky v tomto případě.

Děkuji mnohokrát.

Jj · 29. 07. 2015 17:56

↑ janusz:

Dobrý den.

Řekl bych, použít přímky tvaru y = k(x-1)+1

Al1 · 29. 07. 2015 18:52

↑ janusz:

Zdravím,

všiml jsem si, že už ve druhém vašem dotazu tápete v přímkách. Pokud je limitní bod $[x_{0};y_{0}]$ , pak přímka má rovnici (neboť ji chceme vést tímto bodem) $y-y_{0}=k(x-x_{0})$

Parabola pak $y-y_{0}=k(x-x_{0})^{2}$

janusz · 29. 07. 2015 22:55

dobrý den,

ano, tohle téma je pro mě poněkud složitější..

když jsme u toho můžete mi prosím ještě poradit, jak by proběhla substituce do pol. souřadnic v případě, že $\lim_{x,y\to1,1}fx$ ?

domníval jsem se, že substituci udělám standartně x = $\varrho \cos \varphi$ a y = $\varrho \sin \varphi$

takže vyjde soustava

1 = $\varrho \cos \varphi$
1 = $\varrho \sin \varphi$

nicméně se mi nedaří vyjádřit $\varrho$ takové, aby rovnice při libovolném $\varphi$ vycházely..

Jj · 30. 07. 2015 07:46

↑ janusz:

Řekl bych, že pro limitní bod $[x_{0};y_{0}]$ můžete použít substituci $x=x_0+\varrho \cos \varphi, \; y=y_0 +\varrho \sin \varphi$ .

Al1 · 30. 07. 2015 07:50

A já jen doplním, že $\varrho \rightarrow0^{+}$

janusz · 30. 07. 2015 08:12

aha, už to chápu.

Děkuju mockrát

janusz · 30. 07. 2015 22:53

omlouvám se, že tento toppic znovu otevírám, ale ještě jsem narazil na jeden problém.

pokud bych měl limitu

$\lim_{x,y\to\infty, \infty }\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}^{x^{2}}$

napadlo mě ji převést na pol. souřadnice. předpokládal jsem teda, že

$\infty = x_{0}+\varrho cos\varphi$

a

$\infty = y_{0}+\varrho sin\varphi$

pokud si pamatuju z definice, výsledná limita musí být vždy
$\lim_{\varrho \to0} f(x_{0}+\varrho cos\varphi ,y_{0}+\varrho \sin \varphi )$

nevim tedy, jestli zapsat nekonečno jako
$x = \infty +\varrho \cos \varphi$ a stejně pro y nebo nějak jinak..

omlouvám se za opakované dotazy na stejné téma, ale mám problém najít řešené příklady limit k jiným bodům, než (0,0)

děkuji moc

jelena · 31. 07. 2015 09:36

Zdravím,

↑ janusz: v zápisu je nějaké zvláštní $x^2$ v pravém horním rohu. Obecně kolegové v některém tématu psali, že vyšetřování limit více proměnných není snadné a průhledné (pokusím se vybavit podrobnější sbírky úloh), ale na fóru bys měl v starších tématech najít dost vzorových s vysvětlením od autorit.

Převod na polární souřadnice (a také jiná volená metoda) musí mít opodstatnění - zde bych řekla, že k výsledku spíš povede vhodné vytknutí. Mně to přijde, že se pokoušíš o nějakou moc velkou divočinu.

pokud si pamatuju z definice, výsledná limita musí být vždy

přidej, prosím, náhled do materiálů, kde je uvedeno. Děkuji.

janusz · 31. 07. 2015 10:35

Dobrý den,

ono $x^{2}$ je mocnina, na kterou je umocněný celý uvedený zlomek,

uvedenou def. jsem našel na http://mi21.vsb.cz/modul/diferencialni- … promennych

v materialu dif. počet fcí více proměnných, str. 57 def 1.4.

Uvedený příklad pochází ze Skript MUNI Dif počet fcí více proměnných Z. Došlá..

Andrejka3 · 31. 07. 2015 11:07

↑ janusz:
A co když $xy<0$ ? Není pak problém s tím ${(\cdot)}^{x^2}$ ?

janusz · 31. 07. 2015 11:27

↑ Andrejka3: teď bohužel úplně nerozumím..[

jelena · 31. 07. 2015 11:38

Zdravím,

↑ Andrejka3: předám do laskavých odborných rukou (pozorovala jsem, že škola šla dobře - gratulace, ač knihovna doplněna nebyla :-))

↑ janusz: děkuji za upřesnění, tedy je zadání $\lim_{x,y\to\infty, \infty }$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$^{x^{2}}$ (potom spíš přepis na tvar $e^{...}$ (ve sbírce paní Došlé nic nevidím - je to ono)? Jinak k definici - v odkazu je vyšetřována limita v bodě $(x_0, y_0)$ , pokud bych chtěla obejit "nekonečna", potom bych před polární souřadnice ještě použila substituci $u=\frac{1}{x}$ , $v=\frac{1}{y}$ , potom v, u k 0,0 (ale nevím, zda to v takové úloze použiješ).

↑ Andrejka3: asi ne, když x, y, k $+\infty$ . Ujmi se kolegy, prosím :-) Děkuji.

Andrejka3

↑ jelena:
Bohužel, asi nerozumím ani zadání :)

Díky! Knihovna nebyla zatím doplněna - ta práce není moc čtivá.

janusz · 31. 07. 2015 12:39

je mi líto, ale zadání zní opravdu takto.. :( je to cv. 2.4 příklad d na str 22.

↑ jelena: pod Vaším odkazem mi vyskočil pouze nějaký graf..

janusz · 31. 07. 2015 12:42

Skripta jsou to tyhle

https://is.muni.cz/do/rect/nakladatelst … 9-Ob-V.jpg

Andrejka3 · 31. 07. 2015 13:16

↑ janusz:
A má to vyjít 0 ? Nebo neexistuje?
Zápis $(x,y)\to (\infty,\infty)$ jsem kdysi chápala tak, že $\rho(x,y)\to+\infty$ , kde rho je nějaká (z ekvivalentních) metrik (tj těch pocházejících z norem) na R^2. Pak by byl problém pro xy záporná. To by šlo obejít tak, že bychom řekli, že se jedná o limitu na množině $\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ . Pak by se hledal nějaký stejnoměrný odhad.
Co teda přesně znamená $(x,y)\to (\infty,\infty)$ ?

jelena · 31. 07. 2015 13:25

↑ Andrejka3:

zadání, pokud jsem správně přepsala, je $\lim_{x,y\to\infty, \infty }$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$^{x^{2}}$ (a navrhuji přepsat do $e^{x^2\ln$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$}$ (ale nevybavuji si, že bych kdy použila polární souřadnice v nekonečnu).

↑ janusz: děkuji, zkusím se večer podívat po některém uložišti, online to nevidím dostupné. Klikem na graf se otevře interaktivní materiál, ale není to Tvá sbírka.

↑ janusz:, ↑ Andrejka3: zdar a sílu, z náhledu už vidím zaměření tématu, děkuji :-)

Andrejka3

Jo, asi mě to došlo.
$(x-y)^2\geq 0$ , takže $x^2+y^2\geq 2xy$ . To by šlo použít v odhadech. Stačí si uvědomit, že $0\leq \exp()$ a odhadovat shora. Nebo zhora? :P

janusz · 31. 07. 2015 14:21

↑ jelena: ano zadání je přesně takhle..

↑ Andrejka3: jestli to měla být nápověda pro mě, tak stále nevím..

ledaže.. na zákl výše zmáněného $x^{2}+y^{2} \ge 2xy$ můžu usuzovat, že ln v přepisu od jeleny bude

$\ln (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}) < 0$

..takže je to $e^{x^{2}(-z)}$ kde z je ten ln.

z toho by vyplývalo, že

$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{e^{zx^{2}}} = 0$

což by i podle výsledků mělo vyjít..

je to možný..?

Andrejka3 · 31. 07. 2015 14:33

Když dosadíš $x=y$ , limitu dopočítáš a získáš kandidáta na limitu, nulu. Proto je otázka, jestli by nešel celý výraz odhadnout shora, nějak stejnoměrně tak, že ten odhad má limitu nula.
Využij nerovnost $x^{2}+y^{2} \ge 2xy$ na odhad
$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{2xy}{2(x^2+y^2)}\leq \ldots$

janusz · 31. 07. 2015 14:37

↑ Andrejka3: ok, zkusim a ten postup co jsem tam popsal je tedy špatně?

děkuji

Andrejka3 · 31. 07. 2015 14:44

Tak to myslím. Jen jsem chtěla to nějak pořádně dokončit.

janusz · 31. 07. 2015 14:58

ok, tak děkuji mnohokrát oběma přítomným za vyčerpávající výklad :)

Andrejka3 · 31. 07. 2015 15:14

↑ janusz:
Pro klid mého svědomí: protože ln i exp jsou rostoucí, je

Matematické Fórum

#1 29. 07. 2015 17:31

Lim fce více proměnných

#2 29. 07. 2015 17:56

Re: Lim fce více proměnných

#3 29. 07. 2015 18:52

Re: Lim fce více proměnných

#4 29. 07. 2015 22:55

Re: Lim fce více proměnných

#5 30. 07. 2015 07:46

Re: Lim fce více proměnných

#6 30. 07. 2015 07:50

Re: Lim fce více proměnných

#7 30. 07. 2015 08:12

Re: Lim fce více proměnných

#8 30. 07. 2015 22:53

Re: Lim fce více proměnných

#9 31. 07. 2015 09:36

Re: Lim fce více proměnných

#10 31. 07. 2015 10:35

Re: Lim fce více proměnných

#11 31. 07. 2015 11:07

Re: Lim fce více proměnných

#12 31. 07. 2015 11:27

Re: Lim fce více proměnných

#13 31. 07. 2015 11:38

Re: Lim fce více proměnných

#14 31. 07. 2015 11:51 — Editoval Andrejka3 (31. 07. 2015 12:08)

Re: Lim fce více proměnných

#15 31. 07. 2015 12:39

Re: Lim fce více proměnných

#16 31. 07. 2015 12:42

Re: Lim fce více proměnných

#17 31. 07. 2015 13:16

Re: Lim fce více proměnných

#18 31. 07. 2015 13:25

Re: Lim fce více proměnných

#19 31. 07. 2015 13:42 — Editoval Andrejka3 (31. 07. 2015 13:50)

Re: Lim fce více proměnných

#20 31. 07. 2015 14:21

Re: Lim fce více proměnných

#21 31. 07. 2015 14:33

Re: Lim fce více proměnných

#22 31. 07. 2015 14:37

Re: Lim fce více proměnných

#23 31. 07. 2015 14:44

Re: Lim fce více proměnných

#24 31. 07. 2015 14:58

Re: Lim fce více proměnných

#25 31. 07. 2015 15:14

Re: Lim fce více proměnných

Zápatí