Matematické Fórum

sanko12 · 14. 03. 2009 22:38

Zdravím všetkých matematikárov.
Potreboval by som poradiť. Potreboval by som vypočítať tento príklad a nejako neviem s ním pohnúť. Tu je znenie príkladu.

Vypočítajte obsah S rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, ktorého obvod o= 119,5m.

Prezeral som aj celé fórum, ale podobný príklad som nenašiel. Ďakujem za všetky rady.

gadgetka · 14. 03. 2009 23:36

Vyšla bych z toho, co známe: o=a+b+c, víme, že a=b, protože trojúhelník je rovnoramenný => $o=2a+c=>c=o-2a$
Zároveň je trojúhelník pravoúhlý, tak platí podle Pythagorovy věty $a^2+a^2=c^2=>c=a*\sqrt{2}$

a dostáváme rovnici:
$119,5-2a=a*\sqrt{2}\nl119,5=a(sqrt{2}+2)\nla=\frac{119,5}{2+\sqrt{2}}$

$S=\frac{a*v}{2}=\frac{a^2}{2}$

sanko12 · 15. 03. 2009 20:52

Ďakujem za pomoc, ale potreboval by som to vyrátať až do konca, až po konečný výsledok. Neviem s tým akosi pohnúť. Prosím čím skôr.

gadgetka · 15. 03. 2009 21:23

cca $612,5 m^2$

Chrpa · 15. 03. 2009 21:43

↑ sanko12:

$2a+c=119,5$ je to rovnoramenný trojúhelník, má tedy dvě strany stejně dlouhé
$2a^2=c^2$ je to trojúhelník pravoúhlý
$2a^2=c^2\nla^2=\frac{c^2}{2}\nla=\frac{c\sqrt 2}{2}$ dosadíme do první rovnice a dostaneme:
$2a+c=119,5\nlc\sqrt 2+c=119,5\nlc(\sqrt 2+1)=119,5\nlc=119,5(\sqrt 2-1)$ dopočítáme délku odvěsen
$a=\frac{c\sqrt 2}{2}=\frac{119,5\sqrt 2(\sqrt 2-1)}{2}\nla=\frac{119,5(2-\sqrt 2)}{2}\,\approx\,35$

Obsah bude:
$S=\frac{a^2}{2}$ jedná se o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník
$S=\frac{119,5^2(2-\sqrt 2)^2}{8}=\frac{35^2}{2}\,\approx\,612,5$

KoTy182 · 15. 03. 2009 22:42

chrpo muzu se zeptat co si delal za operace u 4. obrazku?

Chrpa · 15. 03. 2009 22:54 — Editoval Chrpa (15. 03. 2009 22:55)

↑ KoTy182:
Myslíš toto:
$c(\sqrt 2+1)=119,5\nlc=119,5(\sqrt 2-1)$
Pokud ano pak:
$c=\frac{119,5}{\sqrt 2+1}$ ten zlomek rozšířím výrazem: $\frac{\sqrt 2-1}{\sqrt 2-1}$ a dostanu:
$c=\frac{119,5(\sqrt 2-1)}{(\sqrt 2+1)(\sqrt 2-1)}=\frac{119,5(\sqrt 2-1)}{2-1}=119,5(\sqrt 2-1)$

KoTy182 · 15. 03. 2009 23:49

chlape ty si borec

sanko12 · 16. 03. 2009 07:14

Ďakujem vám za pomoc. Včera sa mi podarilo zohnať z iných zdrojov riešenie tohto príkladu, ale konečný výsledok sa trocha líši. Chcel by som vás poprosiť aby ste to ešte raz prerátali a určili ktorá verzia je správna. Ďakujem

D : pravouhlý rovnoramenný trojuholník
o = 119,5 m
S = ?
–––––––––––––––––––––––––––––––-

Prepona je najdlhšia strana ∆ preto určite bude základňa rovnoramenného trojuholníka preponou.

S = ( súčin odvesien delené 2)

Z Pytagorovej vety vyplýva : z2 = r2 + r2
z2 = 2r2 / √
z = √2 r

Obvod rovnoramenného ∆ : o = r + r + z
119,5 = r + r + √2 r
119,5 = ( 2 + √2) r / : ( 2 + √2)
r = .........pri počítaní budem zaokrúhľovať
na dve desatinné miesta

r =
r = 35,04 m

S =

S = 613,9 m2

Cheop · 16. 03. 2009 07:18 — Editoval Cheop (16. 03. 2009 07:21)

↑ sanko12:
Jsem přesvědčen, že naše verze je správná.
Obsah vyjde dost přesně: 612,5256 m^2
Délka ramene totiž vyjde: 35,000743 m

sanko12 · 16. 03. 2009 07:19

A nemôže byť rozdiel tým že to tá osoba zaokruhľovala?

Cheop · 16. 03. 2009 07:22 — Editoval Cheop (16. 03. 2009 07:38)

↑ sanko12:
Myslím si, že kdyby to zaokrouhlila(ta osoba) pak by délku ramene určitě zaokrouhlila na 35 m
a pak by obsah vyšel 612,5 m^2
Délka základny vyjde 49,4985 m kdyby se to zaokrouhlilo na 49,5, pak délka ramene bude 35,00178 m zaokrouhleně opět 35 m.

gadgetka · 16. 03. 2009 09:22

sanko12 napsal(a):
A nemôže byť rozdiel tým že to tá osoba zaokruhľovala?

613,9 vyjde díky zaokrouhlování, ano: $\sqrt{2}=1,41$

$\frac{119,5}{3,41}\approx35,04$

$35,04^2\approx1227,8$

$1227,8:2=613,9$

Cheop · 16. 03. 2009 09:42 — Editoval Cheop (16. 03. 2009 09:43)

↑ gadgetka:
Zdravím-:)
Ty jsi na to kápla
Mě ani nenapadlo to takto zaokrouhlovat.

Neználek · 30. 03. 2009 10:05

zdravím,prosím o pomoc s příkladem
Vypočt.délku kružnice a obsah kruhu,který je touto kružnicí určen,je-li tato kružnice vepsána do rovnostranného trojúhelníku jehož obsah je odmocnina ze 3.
Díky moc

gadgetka · 30. 03. 2009 10:40

Obsah rovnostranného trojúhelníku se vypočítá podle vzorce: $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ (vychází se z toho, že všechny výšky v rovnostranném trojúhelníku jsou stejně dlouhé a jsou rovny $a*\sin 60^\circ=a*\frac{\sqrt{3}}{2}$ , po dosazení do vzorce $\frac{a*v}{2}$ dostaneme $\frac{a*\frac{a*\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ )

Sestavíme rovnici:
$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\nl4\sqrt{3}=\sqrt{3}a^2\nl4=a^2\nl2=a$

Strana rovnostranného trojúhelníku $a=2(cm)$

Pro poloměr kružnice vepsané platí: $\frac{S}{\frac{o}{2}}$ , po dosazení: $\frac{\sqrt{3}}{\frac{6}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Délka kružnice: $o=2\pi r=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

Obsah kruhu: $\pi r^2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$^2\pi=\frac{3}{9}\pi=\frac{\pi}{3}$

Cheop · 30. 03. 2009 10:44 — Editoval Cheop (31. 03. 2009 10:47)

↑ Neználek:
Pro obsah S rovnostranného trojúhelníku o straně a platí:
$S=\frac{a^2\sqrt 3}{4}$ (jde to spočítat pomocí Pythagorovy věty)
Pro náš případ:
$\sqrt 3=\frac{a^2\sqrt 3}{4}\nla^2=4\nla=2$
Pro poloměr ró kružnice vepsané rovnostrannému trojúhelníku platí vztah:
$\rho=\frac{a\sqrt 3}{6}\nl\rho=\frac{2\sqrt 3}{6}\nl\rho=\frac{\sqrt 3}{3}$ poloměr je 1/3 výšky trojúhelníku $v=\frac{a\sqrt 3}{2}$ (znovu věta starého Pythagora)
Obvod tedy bude:
$o=2\pi\cdot\rho=\frac{2\pi\sqrt 3}{3}$
Obsah kruhu:
$S=\pi\cdot\rho^2=\pi\cdot\left(\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2=\frac{\pi}{3}$

PS: Kdybychom to chtěli počítat obecně (měli bychom zadán obsah rovnostranného trojúhelníka S)
Pak by to bylo takto:
o - obvod kružnice vepsané (vyjádřit pomocí S)
S_k - obsah kružnice vepsané (vyjádřit pomocí S)
$o=\frac{2\pi}{3}\cdot\sqrt[4]{{3S}^2}\nlS_k=\frac{\pi\cdot S\cdot\sqrt{27}}{27}$