Matematické Fórum

enila · 13. 08. 2015 13:38 — Editoval enila (13. 08. 2015 13:38)

Ahoj, byl by mi někdo prosím schopen vysvětlit jak se dojde k výsledku u tohoto příkladu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-08/65856_derivace.png

Předem díky

jelena · 13. 08. 2015 16:03

Zdravím,

pokud nic nepřehlížím, tak na druhém scanu máš postup naznačen - podstatné je snad si uvědomit, že derivujeme součin $y\cdot f(u, v)$ , kde $f(u, v)$ je složená funkce složených funkcí (podrobně máš v zadání). Co konkrétně je z 2. scanu problém? Děkuji.

enila · 14. 08. 2015 11:16 — Editoval enila (14. 08. 2015 11:42)

Děkuji za reakci,
problém byl právě v tom, jak píšete uvědomit si, že derivujeme součin $y\cdot f (u, v)$ protože já to pořad brala jako $arctg(1+y)*f(u,v)$ a z toho tedy plyne první moje otázka, jak to poznám?

Funkci jsem si tedy přepsala takto $z= arctg(1)+y\,\left(\sin \left(x\right)+x^3+2\,y\right)$ (doufám že je to správně). Po zderivování této funkce podle x mi vyšlo $\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(arctg(1)+y\,\left(\sin \left(x\right)+x^3+2 \,y\right)\right)= y\,\left(\cos \left(x\right)+3\,x^2\right)$

Ale teď nerozumím tomu poslednímu kroku z 2. scanu derivace podle xy se přeci provede tak, že se vezme výsledek derivace podle x tedy $y (\cos \left(x\right)+3\,x^2)$ a zderivuje se podle y. To mi pak vychází $\cos \left(x\right)+3\,x^2$ kde se tedy vezme druhá část výrazu?

Děkuji

jelena · 14. 08. 2015 12:48 — Editoval jelena (14. 08. 2015 12:55)

↑ enila:

také děkuji,

protože já to pořad brala jako $arctg(1+y)*f(u,v)$ a z toho tedy plyne první moje otázka, jak to poznám?

jak jsi i sama přepsala, v zadání není závorka (1+y), tedy argumentem arctg je jen 1 (arctg(1)).

Funkci jsem si tedy přepsala takto $z= arctg(1)+y\,\left(\sin \left(x\right)+x^3+2\,y\right)$

tak přepsat nejde, jelikož nevíme předpis funkce $f(u, v)$ , může to být $f(u,v)=u+v$ , ale také $f(u,v)=\frac{2\ln u}{\sin (v+u)}$ , nebo něco jiného, proto derivaci po $u$ (nebo po v) zapisujeme jen jako $\frac{\partial f}{\partial u }$ a dle pravidel derivování složených funkcí ještě donásobíme derivaci vnitřní funkce. Zkus to ještě opravit, prosím.

Edit: kapitola 3.4 v odkazu

enila · 14. 08. 2015 16:37 — Editoval enila (14. 08. 2015 16:38)

↑ jelena:

Dobře tedy první krok jsem znovu napsala pomocí vzorce 3.12 ze zmíněné kapitoly z materiálu, který jste mi doporučila

$z= arctg(1)+y\,\left(f(u,v)\right)$

$\frac{\partial z}{\partial x }=(arctg(1))'+(y*(f(u,v)))'= 0+y*\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)$

Nyní již chápu první krok teď tedy vezmu výsledek, co mi vyšel a zderivuji ho podle y (uvádím to s kompletně s postupem)

$\frac{\partial f}{\partial y }=0+y\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)=y'*\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)+y*\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)'=$ $=1*\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)+y*\left(\left(\frac{\partial f}{\partial u }\right)'*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*0+\left(\frac{\partial f}{\partial v }\right)'*cos(x)+\frac{\partial f}{\partial u }*0\right)=$
$=1*\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)+y*\left(\frac{\partial^2 f}{\partial u^2 } *3x^2+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2 } *cos(x) \right)$

Podle výsledku co je nahoře mi to pořád nevychází. Mohla byste mi to prosím zkontrolovat, děkuji.

jelena · 14. 08. 2015 17:52

↑ enila:

skoro dobře, jen pořád musíš kontrolovat, zda derivuješ složenou funkci, tedy nezapomenou opět zderivovat vnitřek - viz zde závorka y*(...):

$=1*\left(\frac{\partial f}{\partial u }*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}*cos(x)\right)+y*\left(\left(\frac{\partial f}{\partial u }\right)'*3x^2+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot 0+\left(\frac{\partial f}{\partial v }\right)'\cdot*cos(x)+\frac{\partial f}{\partial u }*0\right)=$

např. hned u prvního členu v závorce ještě budeš mít $=...+y\cdot\left($\frac{\partial f}{\partial u }\right)'\cdot (3x^2+2y)^{\prime}_y\cdot 3x^2+...$$ .
Projdi si tak každou derivaci v závorce, ještě bych řekla, že se podařilo v této závorce přehodit du, dv (v odkazu je vzorec i pro smíšenou derivaci č. 3.17 , ale jak jeden vzorec, tak i druhý se dá odvodit "postupným rozbalováním" jednotlivých složených funkcí).

enila · 15. 08. 2015 12:50

↑ jelena:

Konečně už mi to vyšlo, děkuji mnohokrát za trpělivost :)

Matematické Fórum

#1 13. 08. 2015 13:38 — Editoval enila (13. 08. 2015 13:38)

Parciální derivace

#2 13. 08. 2015 16:03

Re: Parciální derivace

#3 14. 08. 2015 11:16 — Editoval enila (14. 08. 2015 11:42)

Re: Parciální derivace

#4 14. 08. 2015 12:48 — Editoval jelena (14. 08. 2015 12:55)

Re: Parciální derivace

#5 14. 08. 2015 16:37 — Editoval enila (14. 08. 2015 16:38)

Re: Parciální derivace

#6 14. 08. 2015 17:52

Re: Parciální derivace

#7 15. 08. 2015 12:50

Re: Parciální derivace

Zápatí