Matematické Fórum

simon1231 · 23. 08. 2015 14:24

Zvarím Vás, potreboval by som pomoc s týmto príkladom:

Nájdite ortogonálnu bázu zamerania roviny α : x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1 + 2x2 + x4 = 3

Budem veľmi vďačný za akúkoľvek pomoc.

Rumburak · 24. 08. 2015 13:55

↑ simon1231:

Ahoj.

Množina (rovina) $\sigma$ , která nás zajímá, je průnikem dvou nadrovin o rovnicích

x1 + x2 + x3 + x4 = 1, x1 + 2x2 + x4 = 3 .

Z těchto rovnic můžeme určit normálové vektory

(1) $\vec{m} , \vec{n}$

daných nadrovin. Zaměření roviny $\sigma$ je ortogonálním doplňkem k lineárnímu obalu vektorů (1).

simon1231

↑ Rumburak:

Ak tomu teda dobre rozumiem, vektor m = (1,1,1,1) a n=(1,2,0,1). Lineárna obálka týchto vektorov je
$\{\beta_{1} (1,1,1,1)+ \beta_{2}(1,2,0,1 \ \}$ . Ako mám určiť ortogonálny doplnok?

Ďakujem.

Rumburak

↑ simon1231:

Vektory $\vec{m} , \vec{n}$ a jejich lin. obal je určen správně.

Nyní hledejme (obecně všechny) vektory $\vec{x}$ , které jsou kolmé k libovolnému vektoru z množiny

$\{\beta_{1} (1,1,1,1)+ \beta_{2}(1,2,0,1) \}$ .

Ekvivalentně tedy hledáme všechny vektory $\vec{x}$ splňující soustavu rovnic

$(1,1,1,1)\vec{x} = 0 , (1,2,0,1)\vec{x}= 0$

(na levé straně v nich je skalární součin). Algebraicky jde o soustavu dvou lineárních rovnic o čtyřech neznámých
s nulovou pravou stranou. Všechna řešení této soustavy tvoří jistý lineární prostor $W$ (jehož dimense je v tomto
případě 4-2 = 2), což je ono zaměření variety $\sigma$ . Máme tedy najít nějakou ortogonální bázi prostor $W$ .

S trochou šikovnosti bychom ji mohli odhadnout "z hlavy", ale lze postupovat i systematicky tak, že napřed najdeme
jakoukoliv bázi a tu pak zortogonalisujeme.

simon1231 · 24. 08. 2015 16:25

↑ Rumburak:

Ďakujem, myslím že som pochopil.

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2015 14:24

Ortogonálna báza zamerania roviny

#2 24. 08. 2015 13:55

Re: Ortogonálna báza zamerania roviny

#3 24. 08. 2015 14:54 — Editoval simon1231 (24. 08. 2015 14:55)

Re: Ortogonálna báza zamerania roviny

#4 24. 08. 2015 15:38 — Editoval Rumburak (25. 08. 2015 12:57)

Re: Ortogonálna báza zamerania roviny

#5 24. 08. 2015 16:25

Re: Ortogonálna báza zamerania roviny

Zápatí