Matematické Fórum

Ginco · 30. 03. 2009 11:14

Cus, chtel bych prosim trochu nakopnout...

mam posloupnost fcí : $f_n(x) = \frac{x^n}{1+x^n}$ na M = <0, 1-l> l >0

Spocital jsem limitu : vyslo mi : $f(x) = 1$

Ted hledam sup na M z $\frac{1}{1+x^n}$ a nejak se mi nedari jej najit...

Tak zkousel jsem postacujici podminku konvergence a taky nic, tak nevim, vim jen, ze ma byt stejnomerne konv. a me limita ze suprema vychazi rovna jedne...
kdyz nekdo poradi, tak budu rad, dekuji

Rumburak

Není mi zcela jasný ten interval - snad <0,1> ?

Je třeba počítat (nebo odhadnout) suprema z | f_n (x)| , kde f_n (x) = x^n / (1 + x^n )

1. Necxhť 0 <= x <= C < 1 . Potom 0 = 0^n <= x^n <= C^n , takže

1 <= 1 + x^n <= 1 + a^n ,

tedy přechodem k převráceným hodnotám obdržíme

1 >= (1 + x^n)^(-1) >= (1 + C^n)^(-1) > 0,

takže 0 <= | f_n (x)| <= C^n , což jde k 0 pro n jdoucí k oo .

2. Pro x = 1 a libovolné n je f_n (x) = 1/2 .

Závěr: Daná posloupnost fcí konverguje na <0,1> k fci

f(x) = 0 pro x element <0,1) , f(1) = 1/2 ,

a to lokálně stejnoměrně v <0,1). Konvergence není stejnoměrná v <0,1), neboť všechna suprema z | f_n (x)| jsou rovna 1/2
(jakožto limity v 1 zleva) a tedy ani v celém <0,1>.

Ginco · 30. 03. 2009 20:24 — Editoval Ginco (30. 03. 2009 20:25)

↑ Rumburak:

Interval je $<0,1-\eps>$
$\eps >0$

Ginco · 30. 03. 2009 20:41

Ještě dotaz...neni mi zcela jasny postup reseni, tak kdyby nekdo poradil pls...

1. Dokažte, že řada $\sum_{n =1}^{\infty}n\cdot{x^3}\cdot{e^{-nx}}$ konverguje stejnoměrne na intervalu M = <0,+oo)

2. Urči obor konvergence řady $\sum_{n =1}^{\infty}\frac{n}{x^n}$

3. Napište Maclaurinovu řadu funkce f(x) = ln(1+x-2x^2) a obor konvergence

Marian · 30. 03. 2009 21:21

↑ Ginco:
1. Použil bych metodu globálních extrémů funkcí $f_n(x)=\frac{nx^3}{\mathrm{e}^{nx}}$ ve spojení s Weierstrassovým kriteriem. Celkem snadno dostaneš stejnoměrnou konvergenci. Navíc se dá u této řady explicitně stanovit uzavřený tvar parciálních součtů, takže cest k cíli je několik.

2. Vyšetřuj nekonečnou řadu
$\sum_{n=1}^{\infty}\left |\frac{n}{x^n}\right |=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{|x|^n}$ . Odtud máš snadno použitím třeba podílového limitního kriteria konvergenci řady s absolutní hodnotou pro všechna taková reálná $x$ , pro něž je $|x|>1$ . Snadno se pak dostane, že pro tato $x\in\mathbb{R}$ je také původní řada konvergentní. Pro ostatní hodnoty $x\in\mathbb{R}$ nemá sumand smysl nebo není splněna nutná podmínka konvergence nekonečné řady.

3. Tohle je dle mého názoru snadná úloha. Zkus sám.