Matematické Fórum

janusz · 25. 08. 2015 19:14

Dobrý den,

měl bych dotaz k níže zmíněným příkladům. Vůbec nejsem ze zadání moudrý a nevím, co se po mě chce..

1. Nechť F a G jsou dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné. Dokažte, že pak funkce
f(x;y) vyhovuje dané rovnici. $z = F (x-2t) + G(x+2t)$ $z_{tt}=4z_{xx}$

u tohoto ještě chápu zadání, ale není mi jasné, jak postupovat.

2. Nechť $\Phi$ je diferencovatelná funkce jedné proměnné. Dokažte, že pak funkce f(x;y) resp.vf(x;y;z) vyhovuje dané rovnici:

$f:u=x\Phi (y^{2}-x^{2}); \frac{1}{x}\frac{du}{dx} + \frac{1}{y}\frac{du}{dy} = \frac{u}{x^{2}}$

tady mě trochu mate ta složena fce, nevím, jak to derivovat..

děkji za radu

jelena · 25. 08. 2015 20:39

Zdravím,

lepší bude dávat odkaz na původní sbírku - již jsme spolu diskutovali, zadání je odsud. V 1. úloze vypadlo, že f: z=... (jinak není jasná souvislost mezi f(x,y) a z). Zderivuješ funkci z po t (dvakrát) a po x (dvakrát) a ukážeš, že platí $z_{tt}=4z_{xx}$ (ono se ukáže skoro samo).

2. úloha: "resp.vf(x;y;z)" se k tomuto 1. zadání nevztahuje, navíc jsi připsal vf(...). Opět jen derivuješ funkci u po x (du/dx) a funkci u po y (du/dy), dosadíš na příslušná místa do levé strany $\frac{1}{x}\frac{du}{dx} + \frac{1}{y}\frac{du}{dy} = \frac{u}{x^{2}}$ a ukážeš, že rovnice platí.

tady mě trochu mate ta složena fce, nevím, jak to derivovat..

nezapomenout na derivaci vnitřní funkce, případně začni derivovat, ono se uvidí, zda je jen prvotní nepřehlednost a pák se projasní. Přeji zdar.

janusz · 26. 08. 2015 16:11

ok, příště dám odkaz rovnou :)

pokud jde o první příklad, teoreticky jak to píšete to chápu, ale nevím, jak konkrétně tu fci zderivovat, když je takto složena. Je to tedy něco ve smyslu

$z = x-2t + x+2t$ nebo jak?

u toho druhého mám stejný problém ,nerozumím zadané fci, jak je napsaná.. $\frac{du}{dx}$ teda znamená

$x^{,}\Phi +x\Phi ^{,}$ nebo jde o derivaci $x*(y^{2}-x^{2})$

jelena · 26. 08. 2015 18:15

↑ janusz: děkuji za příslib :-)

Funkce F a G jsou funkce jedné proměnné, např. můžeme zapsat, že $F(h)$ ovšem jedna proměnná $h$ je opět funkce $h(x, t)=x-2t$ , je vnitřní funkci pro funkci F a derivování složené funkce bude vypadat tak: $(F(h))^{\prime}_x=F^{\prime}_x(h)\cdot (h)^{\prime}_x$ nebo také lze zapsat jako $\frac{\partial F(h)}{\partial x }=...$ , konkrétně $$F(x-2t)$^{\prime}_x=F^{\prime}_x(x-2t)\cdot (x-2t)^{\prime}_x$ a pokračovat.

Obdobně 2. úloha

$x^{,}\Phi +x\Phi ^{,}$

skoro dobře, derivuješ součin, ale ještě doplnit derivaci vnitřní funkce $x^{\prime}_x\Phi +x\Phi^{\prime}_x\cdot(y^2+x^2)^{\prime}_x$ a pokračovat do kompletního $\frac{du}{dx}$ .

Je to tak dost přehledné? Děkuji.

janusz · 26. 08. 2015 19:13

↑ jelena:

je to perfektní.

dekuji mockrát

jelena · 26. 08. 2015 20:48

↑ janusz: není za co. Ještě jak se divám do textu/sbírky, na úvod (v kapitole 2.1) jsou různé příklady označování funkce, objevuje se také jeden příklad se stejným označením, jak diskutujeme (příklad 2.4). Pokud je všechno jasné, označ, prosím, za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2015 19:14

Rovnice s Derivacemi fce

#2 25. 08. 2015 20:39

Re: Rovnice s Derivacemi fce

#3 26. 08. 2015 16:11

Re: Rovnice s Derivacemi fce

#4 26. 08. 2015 18:15

Re: Rovnice s Derivacemi fce

#5 26. 08. 2015 19:13

Re: Rovnice s Derivacemi fce

#6 26. 08. 2015 20:48

Re: Rovnice s Derivacemi fce

Zápatí