Matematické Fórum

tereza93 · 29. 08. 2015 23:42

ahoj, už několikrát jsem narazila na problém u parametrické rovnice s kterým si neumím poradit
$x^{2}+(a+3)x + 2a+1=0$
mám najít pro které hodnoty parametru a má rovnice dva různé reálné kořeny
po dosazení koeficientů mi vychází diskriminant $a^{2}+2a-4$
dál zřejmě nevím co s tím udělat protože při hledání kořenů narážím na problém $\sqrt{-4}$
pomůže někdo?

vanok · 30. 08. 2015 01:12

Ahoj ↑ tereza93:
Discriminant rovnice je $(a+3)^2-4(2a+1)=a^2-2a+5$ . Vyuzi to.

tereza93 · 30. 08. 2015 01:30

↑ vanok:
aha, vypadla mi devítka
chápu diskriminant
platí pak tahle úprava pro jeho odmocninu?
$\sqrt{(a^{2}+2a+1)+4} = (a+1) + 2$
v případě, že ano - vyšly mi kořeny $x_{1}=1,x_{2}=-a-3$
je to tak správně? - u prvního kořenu mi vypadl parametr - co to znamená?
jak postupovat dál? jaký je výsledek?

misaH · 30. 08. 2015 02:55 — Editoval misaH (30. 08. 2015 03:04)

↑ tereza93:

Tá úprava neplatí.

Napríklad $\sqrt {1+9} \ne \sqrt1+\sqrt9$ , lebo je to $\sqrt {10}$ a nie $4$ .

Korene nepotrebuješ. Potrebuješ iba vedieť, pre ktoré $a$ sú dva rôzne. Súvisí to so znamienkom diskriminantu.

tereza93

↑ misaH:
$a^2-2a+5$ chyba?
řekla bych, že diskriminant je $a^2+2a+5$ nebo se pletu?

tereza93

↑ tereza93:
diskriminant musí být větší než nula aby vycházely dva různé reálné kořeny
$a^{2}+2a>-5$ což by mělo odhadem platit pro všechna reálná čísla..
ale matematika přece není o odhadování? jak tedy zjistit, že to skutečně platí pro všechna R?

tereza93 · 30. 08. 2015 10:35

↑ tereza93:

jde mi o to, protože v jiné rovnici mi vychází diskriminant $p^{2}+2p-15$
a hledám pro které hodnoty $p$ márovnice dva záporné kořeny
čili $D<0$ - $p^{2}+2p<15$ - ale jak prostě najdu ten interval pro který tahle nerovnice platí?

zdenek1 · 30. 08. 2015 11:11

↑ tereza93:
a) pokud máš mít dva záporné kořeny, tak $D>0$ (máš špatně znaménko nerovnosti)
b) to samo o sobě nestačí, potřebuješ další dvě podmínky
$x_1x_2>0$ a $x_1+x_2<0$

do těchto podmínek dosadíš koeficienty podle Vietových vztahů a vyřešíš soustavu tří nerovnic.

tereza93 · 30. 08. 2015 11:24

↑ zdenek1:
jo tohle jsem nevěděla, ale mám tam chybu - měla jsem hledat pro které hodnoty parametru nemá rovnice žádný reálný kořen $p^{2}+2p<15$ čili by to mělo být takhle správně a otázka zůstává - jak najdu interval pro který to platí?

Al1 · 30. 08. 2015 11:30

↑ tereza93:

Zdravím,

ano, pokud nemá mít kvadratická rovnice v oboru reáných čísel žádné řešení, pak je její diskriminant záporný, tudíž řešíš kvadratickou nerovnici
$p^{2}+2p-15<0$

Můžeš řešit rozkladem na součin a zakreslením paraboly

$p^{2}+2p-15=(p+5)(p-3)$

parabola protne osu x v nulových bodech -5 a 3, a ty hledáš, kdy je pod osou x (protože její předpis má být <0). Parabola má ve svém vrcholu minimum (je otočená "vrcholem dolu" - konvexní), protože koeficient kvadratického členu je kladný.

misaH · 30. 08. 2015 11:33 — Editoval misaH (30. 08. 2015 11:34)

↑ tereza93:

Máš riešiť nerovnicu $p^{2}+2p-15<0$

Buď doplníš do štvorca a následne rozložíš na súčin + doriešiš nerovnicu

alebo

Riešiš najprv kvadratickú rovnicu, rozložíš na súčin koreňových činiteľov a následne riešiš pôvodnú nerovnicu

Úplne najviac by sa ti zišlo poriadne naštudovať teóriu.

vanok · 30. 08. 2015 11:34 — Editoval vanok (30. 08. 2015 11:35)

↑ tereza93:
Mozes vyuzit, ze
$(a+3)^2-4(2a+1)=a^2-2a+5=(a-1)^2+4>0$ .
Co ti umozni odpovedat na danu otazku v tvojom prvom prispevku, bez toho aby si musela nieco pocitat.

misaH · 30. 08. 2015 11:35

Už to nechám.

:-)

Al1 · 30. 08. 2015 11:37 — Editoval Al1 (30. 08. 2015 12:30)

Ještě ke tvému minulému problému:

$x^{2}+(a+3)x + 2a+1=0$
$D=(a+3)^2-4(2a+1)=a^2+6a+9-8a-4=a^2-2a+5$

Rovnice má mít dva různé reálné kořeny, proto D>0

Stačí vyřešit
$a^2-2a+5> 0\nl D=4-20=-16\nl D<0$

A ještě jednou, jak již napsala kolegyně MisaH
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\ne \sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}$

tereza93 · 30. 08. 2015 12:21

↑ Al1:
k prvotnímu problému
ono ale správné řešení má skutečně být $a \in R$

Al1 · 30. 08. 2015 12:31

↑ tereza93:

Ano, diskriminant dané rovnice je vždy kladný, tedy rovnice má vždy dva různé reálné kořeny. Proto je závěr $a \in R$

tereza93 · 30. 08. 2015 12:37

↑ Al1:↑ misaH:↑ vanok:↑ zdenek1:
děkuji Vám za pomoc!

Matematické Fórum

#1 29. 08. 2015 23:42

parametrická kvadratická rovnice

#2 30. 08. 2015 01:12

Re: parametrická kvadratická rovnice

#3 30. 08. 2015 01:30

Re: parametrická kvadratická rovnice

#4 30. 08. 2015 02:55 — Editoval misaH (30. 08. 2015 03:04)

Re: parametrická kvadratická rovnice

#5 30. 08. 2015 10:07 — Editoval tereza93 (30. 08. 2015 10:36)

Re: parametrická kvadratická rovnice

#6 30. 08. 2015 10:24 — Editoval tereza93 (30. 08. 2015 10:25)

Re: parametrická kvadratická rovnice

#7 30. 08. 2015 10:35

Re: parametrická kvadratická rovnice

#8 30. 08. 2015 11:11

Re: parametrická kvadratická rovnice

#9 30. 08. 2015 11:24

Re: parametrická kvadratická rovnice

#10 30. 08. 2015 11:30

Re: parametrická kvadratická rovnice

#11 30. 08. 2015 11:33 — Editoval misaH (30. 08. 2015 11:34)

Re: parametrická kvadratická rovnice

#12 30. 08. 2015 11:34 — Editoval vanok (30. 08. 2015 11:35)

Re: parametrická kvadratická rovnice

#13 30. 08. 2015 11:35

Re: parametrická kvadratická rovnice

#14 30. 08. 2015 11:37 — Editoval Al1 (30. 08. 2015 12:30)

Re: parametrická kvadratická rovnice

#15 30. 08. 2015 12:21

Re: parametrická kvadratická rovnice

#16 30. 08. 2015 12:31

Re: parametrická kvadratická rovnice

#17 30. 08. 2015 12:37

Re: parametrická kvadratická rovnice

Zápatí