Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 03. 09. 2015 11:59

Dobrý den, mám příklad: $\int_{\sin ^{5}x dx}$ . Jakou prosím použít substituci?

Cheop · 03. 09. 2015 12:08

↑ terezkaaaaa5:
Použij substituci
$\cos\,x=t$

terezkaaaaa5 · 03. 09. 2015 12:14

↑ Cheop:

Díky. Ale když v zadání žádný cos x není? Tak mám použít vzorec $\cos ^{2}x+ \sin ^{2}x = 1$ ? A integrál napíši jako: $\int_{(1-\cos ^{2}x}\cdot \sin ^{3}x dx$ ?

Cheop · 03. 09. 2015 12:31

↑ terezkaaaaa5:
Goniometrickou jedničku použiješ až po substituci.
Měla bys dospět k integrálu
-int(1-cos^2 x)^2

terezkaaaaa5 · 03. 09. 2015 12:37

↑ Cheop:

Bohužel vůbec netuším jak. Jak v zadání, kde žádný cosinus nemám, mám substituovat cos? Když vzoreček mám použít až po substituci?

Cheop · 03. 09. 2015 12:52 — Editoval Cheop (03. 09. 2015 12:54)

↑ terezkaaaaa5:
$\int\sin^5x\,dx$
$\cos\,x=t\\-\sin\,x\,dx=dt$
$\int\sin^5x\,dx=-\int\frac{\sin^5x\,dt}{\sin\,x}=\\-\int\sin^4x\,dt=-\int(1-\cos^2x)^2\,dt=\\-\int(1-t^2)^2\,dt=\int(t^2-1)^2\,dt=\\\int(t^4-2t^2+1)\,dt$
atd

terezkaaaaa5 · 03. 09. 2015 12:57

Moc děkuji. Takže výsledek bude: $\frac{cos^{5}x}{5}-2\cdot \frac{\cos ^{3}x}{3}+\cos x+c$ ?

Jj · 03. 09. 2015 15:15

↑ terezkaaaaa5:

Dobrý den.

Derivace výsledku dá Odkaz, takže bych řekl, že je někde problém se znaménkem - asi tady:

$-\int(1-t^2)^2\,dt=\color{red}-\color{black}\int(t^2-1)^2\,dt=\color{red}-\color{black}\int(t^4-2t^2+1)\,dt$

terezkaaaaa5 · 03. 09. 2015 15:19

Díky. co ale nechápu je, jak se z $-\int(1-t^2)^2\,dt=$ stane $\color{red}-\color{black}\int(t^2-1)^2\,dt$ ? Moc děkuji za objasnění.

Jj · 03. 09. 2015 15:33

↑ terezkaaaaa5:

Protože vytknutím (-1) ze 'závorky na druhou' se znaménko nezmění:

$(1-t^2)^2=(-1(t^2-1))^2=(-1)^2(t^2-1)^2=+1\cdot (t^2-1)^2$

terezkaaaaa5 · 03. 09. 2015 15:44

↑ Jj:

Moc vám děkuji! :)

jelena · 04. 09. 2015 10:39

Zdravím,

↑ Cheop: pořád ale s touto formou zápisu (2 proměnné v jednom integrálu) nemohu souhlasit a hlavně takový přístup zamlžuje princip substituční metody - že v zápisu vidím složenou funkci a derivaci vnitřní funkce.

terezkaaaaa5 napsal(a):
A integrál napíši jako: $\int{(1-\cos ^{2}x}\cdot \sin ^{3}x dx$

to nebyla nejhorší idea, jen více dotáhnout "A integrál napíši jako": $\int(1-\cos ^{2}x)^2\cdot $\sin x\d x$$ teď substituce kolegy Cheopa. A tak se musím snažit provádět úpravy, abych viděla funkci a derivaci vnitřní.

↑ Cheop: :-) podstatné je, pravda, že konečně déšť zamlžuje okna. Zdravím, také bratra.

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2015 11:59

Integrál

#2 03. 09. 2015 12:08

Re: Integrál

#3 03. 09. 2015 12:14

Re: Integrál

#4 03. 09. 2015 12:31

Re: Integrál

#5 03. 09. 2015 12:37

Re: Integrál

#6 03. 09. 2015 12:52 — Editoval Cheop (03. 09. 2015 12:54)

Re: Integrál

#7 03. 09. 2015 12:57

Re: Integrál

#8 03. 09. 2015 15:15

Re: Integrál

#9 03. 09. 2015 15:19

Re: Integrál

#10 03. 09. 2015 15:33

Re: Integrál

#11 03. 09. 2015 15:44

Re: Integrál

#12 04. 09. 2015 10:39

Re: Integrál

terezkaaaaa5 napsal(a):

Zápatí