Matematické Fórum

tumas · 05. 09. 2015 12:37

Dobrý den,

mým úkolem je vypočítat vlastní čísla a vlastní vektory matice

-3 -6 18
-1 -4 9
-2 -2 9

Vlastní čísla mi vyšla pouze dvě a to: 0, 3 - doufám, že jsem postupoval správně.

Nejde mi ale do hlavy výpočet vlastních vektorů. Začíná to být pro mě už dost frustrující, neboť odpověď hledám již několik hodin a přijde mi, že přesně ta část, které nerozumím, je všude přeskočena. Vím, že se možná jedná o základy, ale já prostě netuším, co dělat.

Budu vděčný za každou pomoc, ušetříte mi tím vybavení domácnosti.

misaH · 05. 09. 2015 13:04

↑ tumas:

Na vlastné vektory je tu kopa dotazov.

Stlač hledat a zadaj vlastní vektor matice.

Ináč lepšie je pýtať sa presne na nepochopený konkrétny krok.

Al1 · 05. 09. 2015 13:23 — Editoval Al1 (05. 09. 2015 21:03)

↑ tumas:

Zdravím,

vlastní čísla jsou tři 0; -1;3
Řešíš rovnici $-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+3\lambda =0$

A vlastní vektory spočítáš takto. Jestliže hledaný vektor je

$\left( x_1;x_2;x_3\right)$

musí platit pro $\lambda =0$
$\left( \begin{matrix} -3 & -6 & 18\\ -1 & -4 & 9 \\ -2 &-2 & 9\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix} \right)$

Stačí vyřešit. A obdobně dosadíš vlastní číslo -1 a nakonec i vlastní číslo 3.

tumas · 05. 09. 2015 15:00

Děkuji za odpovědi.

Nezlobte se, ale s tím vyřešením prostě nehnu. Díval jsem se na ostatní dotazy a stále mi to není jasné. Když matice roznásobím, vyjdou mi rovnice, jejichž řešení mi stále vychází nula. Zkrátka se nemohu nikde dopátrat postupu toho posledního kroku.

Pokusil jsem se následně upravit matici na

0 0 0
-1 -4 9
0 6 0

A nevím jestli to je správně, ale po roznásobení mi stále vychází

x = 9z
6y = 0.

Tak já nevím.
Omlouvám se za zbytečný dotaz.

Al1 · 05. 09. 2015 15:07 — Editoval Al1 (05. 09. 2015 16:44)

↑ tumas:

Tak tedy:

$\left( \begin{matrix} -3 & -6 & 18\\ -1 & -4 & 9 \\ -2 &-2 & 9\\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 &-6\\ -1 & -4 & 9 \\ -2 &-2 & 9\\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -6\\ 0 &- 2 & 3 \\ 0 &2 & -3\\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -6\\ 0 & -2 & 3 \\ 0 &0 &0\\ \end{matrix} \right)$
Řešení: $x_{3}=t, x_{2}=\frac{3}{2}t, x_{1}=3t$

Takže vlastní vektor je $(6,3,2)$

Jinak studijní materiál např. Odkaz

tumas · 05. 09. 2015 16:25

Děkuji za podrobnou odpověď. Jak jste vypočítal $x_{2}$ chápu, za t si dosadím libovolné číslo, pokud se nepletu, ale jak jste přišel na $x_{1} = 3t$ zřejmě nikdy nepochopím. Každopádně Vám moc děkuji za pomoc, pokusím se příklad dokončit.

Asi jsem si vybral špatný obor. Byl bych dobrá švadlena.

Al1 · 05. 09. 2015 16:44 — Editoval Al1 (05. 09. 2015 16:48)

↑ tumas:

Hlavu vzhůru.

Z poslední matice je vidět, že soustava má nekonečně mnoho řešení. Ze druhého řádku plyne, že v něm má dvě neznámé, jenže jenom jednu rovnici. Takže jednu neznámou volím a druhou dopočítám.

Volím $x_{3}=t$ , proto
$-2x_{2}+3x_{3}=0\nl x_{2}=\frac{3}{2}t$

A dosadím do první rovnice
$x_{1}+2x_{2}-6x_{3}=0\nl x_{1}=-2\cdot \frac{3}{2}t+6t=3t$

Takže řešením je
$(3t, \frac{3}{2}t, t)^{T}$

Jedním takovým vektorem je vektor $(6,3,2)$

tumas · 05. 09. 2015 17:09

Už je mi to jasné! Já hlupák pořád řešil špatně opsanou rovnici v sešitě. Ještě jednou moc děkuji za pomoc.

vanok · 05. 09. 2015 20:42 — Editoval vanok (05. 09. 2015 20:51)

↑ Al1:
Ahoj Ali, tvoja odpoved, co sa tyka vlastnych hodnot je spatna, i ked zazrakom mas dobru charaktericku rovnicu
$-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+3\lambda =0$
Jej korene su 3;-1;0
( mohol si to skontrolovat aj vdaka trace danej matice)
Inac dalsie dva vlastne vektory su (3;2;1) a (2,1,1).
Poznamka
Dana matica je diagonazibilna, a ma nulovy determinant

Al1 · 05. 09. 2015 21:04

↑ vanok:

Zdravím, pane kolego,

chyba je v mé nepozornosti, rovnici jsem si vyřešil správně, avšak se mi zatoulalo znaménko. Děkuji za kontrolu. Již opraveno.

vanok · 05. 09. 2015 21:12

↑ Al1:,
Ano, to sa moze kazdemu stat.
Este poznamka, niektori autory pouzivaju slovo stopa namiesto slova "trace", citaj tras .

Matematické Fórum

#1 05. 09. 2015 12:37

Vlastní vektor

#2 05. 09. 2015 13:04

Re: Vlastní vektor

#3 05. 09. 2015 13:23 — Editoval Al1 (05. 09. 2015 21:03)

Re: Vlastní vektor

#4 05. 09. 2015 15:00

Re: Vlastní vektor

#5 05. 09. 2015 15:07 — Editoval Al1 (05. 09. 2015 16:44)

Re: Vlastní vektor

#6 05. 09. 2015 16:25

Re: Vlastní vektor

#7 05. 09. 2015 16:44 — Editoval Al1 (05. 09. 2015 16:48)

Re: Vlastní vektor

#8 05. 09. 2015 17:09

Re: Vlastní vektor

#9 05. 09. 2015 20:42 — Editoval vanok (05. 09. 2015 20:51)

Re: Vlastní vektor

#10 05. 09. 2015 21:04

Re: Vlastní vektor

#11 05. 09. 2015 21:12

Re: Vlastní vektor

Zápatí