Matematické Fórum

Sherlock

Ahoj, je to asi docela prkotina, ale už od června mě to celkem trápí :)

$x^{y}+y^{x}>1$ , kde $0<x<1$ , $0<y<1$

Nic rozumného mě nenapadá (navíc bez použití dif. počtu)

Další podobný příklad, se kterým si nevím rady: $x^{x}>\frac{1}{2}$ (pro kladná x, taky bez dif. počtu)

vanok · 06. 09. 2015 23:02

Ahoj ↑ Sherlock:,
Tu mas ciastocnu odpoved vdaka derivacii
http://www.analyzemath.com/calculus/Dif … ative.html
No vsak tak ci tak ide o zaujimave, zabavne cvicenie.

BakyX · 07. 09. 2015 05:49

↑ Sherlock:

Ahoj.

Poznáš váženú AG nerovnosť ?

Sherlock · 07. 09. 2015 09:04

↑ BakyX:

No, ale nenapadá mě, jak s tím dál $x^{y}+y^{x}\ge 2\cdot \sqrt[x+y]{x^{y}y^{x}}>1$

vanok · 07. 09. 2015 10:21 — Editoval vanok (08. 09. 2015 09:38)

↑ Sherlock:,
Este doplnkova poznamka, pre tvoje x,y mame: $x^y>\frac x{x+y}$ , co umozni jednoduchy dokaz tvojej nerovnosti.
Inac pre $0<x<1$ ; $0<y<1$ sa to da tiez dokazat vdaka Bernoulli-ho nerovnosti.( nenehaj sa pomylit z beznou situaciou, pozri napr sem http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html vzorec (7) )

BakyX · 07. 09. 2015 12:38 — Editoval BakyX (07. 09. 2015 13:16)

↑ Sherlock:

Skús odhadnúť každý člen $x^y$ a $y^x$ , niečo ako v ↑ vanok:

Ide to aj cez váženú AG celkom pekne :)

Taktiež aj tá druhá nerovnosť. Tam Ti stačí jedna vážená $AG$ na odhad $x^x$

BakyX · 07. 09. 2015 13:17 — Editoval BakyX (07. 09. 2015 13:18)

Vážená $AG$ má tvar

$x_1w_1 +x_2w_2 ... + x_nw_n \ge x_1^{w_1} \cdot w_2^{w_2} ... x_n^{w_n}$

pre nezáporné $x_1,x_2,...,x_n$ a nezáporné $w_1,w_2,....,w_n$ so súčtom $1$

BakyX · 07. 09. 2015 22:39 — Editoval BakyX (07. 09. 2015 22:41)

Moje riešenie $x^x > \frac{1}{2}$ pre $x>0$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Moje riešenie $x^y + y^x > 1$ pre $0<x<1$ a $0<y<1$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Sherlock · 10. 09. 2015 11:41

↑ BakyX: Chytré, to mě nenapadlo :)

↑ vanok: Bernoulliho vzorec má pro potřebné $a$ tvar:

tzn. po vhodném dosazení dostávám odhad $x^{y}<...$

Ale potřebuji odhad $x^{y}>$