Matematické Fórum

Jakub1 · 11. 09. 2015 10:52

Dobrý deň,

v zbierke Matematické hlavolamy (J. B. Dynkin a kol.) som našiel tento príklad (str. 95/13):

"Traja ľudia sa chcú dostať z mesta A do mesta B, medzi ktorými je vzdialenosť $|AB|=130 km$ . Majú k dispozícii jeden dvojmiestny motocykel. Rýchlosť motocykla (nezaťaženého alebo zaťaženého) je $v_{2}=50 km\cdot h^{-1}$ . Rýchlosť chodca sa predkladá $v_{1}=5 km\cdot h^{-1}$ . Nájdite najkratší čas, aký je potrebný na to, aby sa všetci traja dostali do mesta B."

Žiaľ, v zbierke nie je uvedené riešenie, preto by som Vás chcel poprosiť, či by ste mi neskontrolovali to moje.

Moje riešenie:
Jeden človek bude motocyklista. Najprv zavezie prvého chodca do jednej polovice vzdialenosti (65 km). Potom sa vráti po druhého, ktorý medzitým už prešiel určitú vzdialenosť. Toto vyzdvihne a spolu dobehnú prvého chodca, ktorý medzitým tiež prešiel určitú vzdialenosť. Ak si exaktne rozpíšem vzdialenosti a dobu trvania tohto úkonu, dostávam:

$S=\frac{|AB|}{2}\cdot(1+\frac{2v_{1}}{v_{1}+v_{2}})$
$T=\frac{|AB|}{2}\cdot(\frac{2}{v_{1}+v_{2}}+\frac{1}{v_{2}})$

Tento istý postup budem opakovať až "do nekonečna". Potom sú ale jednotlivé vzdialenosti geometrickou postupnosťou, ktorá konverguje k 0, vďaka tomu, že kvocient je menší ako 1. Potom ale aj súčet konverguje k istej hodnote. My hľadáme súčet časov týchto jednotlivých úsekov.
$S_{n}=S_{1}\cdot (1-\frac{1}{2}-\frac{2v_{1}}{2(v_{1}+v_{2})})^{n-1} \wedge S_{1}=|AB|$
$T_{n}=\frac{|AB|}{2}\cdot (\frac{2}{v_{1}+v_{2}}+\frac{1}{v_{2}}) \cdot (1-\frac{1}{2}-\frac{2v_{1}}{2(v_{1}+v_{2})})^{n-1}$

Po použití vzorca $s_{\infty}=a_{1}\cdot\frac{1}{1-q}$ a úprave dostávam:
$s_{T\infty}=\frac{|AB|}{v_{2}}\cdot\frac{3v_{2}+v_{1}}{3v_{1}+v_{2}}=6.2\ h=6h\ 12min$

PS: Vyskúšal som aj možnosť, že prvého chodca zavezie do $\frac{1}{p}$ celkovej dráhy, kde $p>1$ . A výsledky vyšli rovnako. Teda nezáleží, do akej vzdialenosti (menšej ako 130) zavezie motocyklista prvého chodca.

Honzc · 11. 09. 2015 13:19 — Editoval Honzc (11. 09. 2015 13:21)

↑ Jakub1:
Úlohu jsi vyřešil dobře.
Ukážu ti ještě jiné řešení.
1. Motycykl zaveze prvního chodce do vzdálenosti od města B takové, aby ten, až dojde do B ušel stejnou dráhu jako druhý chodec než ho naloží motocyklista aby ho dovezl do města B. (vzdálenost AB označme s)
2. Tedy chodci musí ujít stejnou dráhu -označme ji třeba x
3. Jestliže budou všichni tři ve městě B ve stejnou chvíli bude jejich doba "putování" nejmenší
4. Teď už stačí jenom spočítat jaké musí být x aby časy na cestě byly stejné (jak motycyklisty tak jednoho chodce+času kdy se veze na motocyklu)
Dráha kterou najezdí motocyklista: $s-x+s-2x+s-x=3s-4x$
Čas motocyklisty: $\frac{3s-4x}{v_{2}}$
Čas chdce:(jde+jede): $\frac{x}{v_{1}}+\frac{s-x}{v_{2}}$
Rovnost časů: $\frac{x}{v_{1}}+\frac{s-x}{v_{2}}=\frac{3s-4x}{v_{2}}$

$x=\frac{2sv_{1}}{3v_{1}+v_{2}}$
$t=\frac{3s-4\frac{2sv_{1}}{3v_{1}+v_{2}}}{v_{2}}=\frac{s}{v_{2}}\frac{v_{1}+3v_{2}}{3v_{1}+v_{2}}$

Matematické Fórum

#1 11. 09. 2015 10:52

Slovná úloha na pohyb

#2 11. 09. 2015 13:19 — Editoval Honzc (11. 09. 2015 13:21)

Re: Slovná úloha na pohyb

Zápatí