Matematické Fórum

Contemplator · 16. 09. 2015 14:31

Zdravím, chcem sa spýtať na určovanie podmienok pri príkladoch s faktoriálmi, napr:
(Predpoklad: počítam príklady zo strednej školy)
(Predchádza tomu ešte 1 otázka: Keď mám faktoriál napr: -3! alebo -4! ....-n! platí to isté ako pre kladné čísla, akurát je to vždy záporné, keďže mínus? )

1. $\frac{(n+1)!}{n!}$ $n\in \mathbb{Z},n\ge 0$ - nevylučuje sa to navzájom? a prečo vlastne $n\ge 0$ , keď je n záporné vychádza +/- číslo....

2. $\frac{n!}{(n-2)!}$ $n\in \mathbb{N}, n\ge 2$ - to isté, ak n=1, tak celkovo víde +/-

3. $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$ $n\in \mathbb{N}$ - a tu už pre menovateľ , neplatí nič?

Al1 · 16. 09. 2015 14:56

↑ Contemplator:

Zdravím,

faktoriál lze počítat pouze z celého nezáporného čísla, takže
$n!$ je definován pro $n\in \mathbb{N}_{0}$
$(n-1)!$ je definován pro celá čísla $n-1\ge 0$ , tedy můžeme říci, že $n\in \mathbb{N}$
$(n+1)!$ je definován pro celá čísla $n+1\ge 0$ , tedy můžeme říci, že $n\in \{-1; 0; 1; \ldots \}$ a zapíšeme jako $n\in \mathbb{Z}\wedge n\ge -1$

Pokud máš zlomek třeba $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$ , pak musí platit
$n+1\ge 0\wedge n-1\ge 0\wedge n\in \mathbb{Z}$

To splňují všechna přirozená čísla, proto $n\in \mathbb{N}$

A dále
$-4!=-24$ , ale $(-4)!$ není definováno

vanok · 16. 09. 2015 15:15

Poznamka
Pojem faktorial, sa da zovseobecnit ako tu
https://sk.m.wikipedia.org/wiki/Gama_funkcia

Contemplator · 16. 09. 2015 19:08

↑ Al1: Takže tá 1. čo som uviedol by mohla byť zapísaná aj: $n\in N_{0}$ ? Nejako tomu to nechapem: Pokud máš zlomek třeba $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$ , pak musí platit
$n+1\ge 0\wedge n-1\ge 0\wedge n\in \mathbb{Z}$

To splňují všechna přirozená čísla, proto $n\in \mathbb{N}$ tá podmienka pre čitatel, je tam kvôli tomu, že v ňom je faktoriál? Ako je možné že z tých 3 podmienok vzíde $n\in N_{0}$

misaH · 16. 09. 2015 19:21

↑ Contemplator:

Poriadne si to prečítaj.

n! je definovaný pre $n\in \mathbb{N}_{0}$

Nie to n z tých troch podmienok.

Tie tri podmienky naraz platia pre n prirodzené.

Al1 · 16. 09. 2015 19:26 — Editoval Al1 (16. 09. 2015 19:33)

↑ Contemplator:

Faktoriál je definován jako součin nezáporných celých čísel n!=n(n-1)(n-2)...2.1

ad1 $\frac{(n+1)!}{n!}$

Podmínky: hledáme celá čísla, pro které platí $n+1\ge 0\wedge n\ge 0$ . Takže z těchto podmínek plyne, že hledáme celá čísla, pro která platí, že jsou nezáporná. Taková čísla patří do množiny $\mathbb{Z}_{0}^{+}$ , která je rovna množině $\mathbb{N}_{0}$

ad2 $\frac{n!}{(n-2)!}$

$n\ge 0\wedge n-2\ge 0$ tedy hledáme celá čísla, která jsou větší nebo rovno 2. Taková čísla vybereme z množiny $\{2; 3; 4; \ldots \}$ , což je nejen množina celých kladných čísel větších nebo rovno 2, ale také množina všech přirozených čísel větších nebo rovno 2