Matematické Fórum

xstudentíkx · 15. 09. 2015 21:58

Pěkný večer,

učím se nekonečné součty a u jednoho příkladu mi postup nesedí. Zkoušela jsem hledat chybu, ale zatím marně. Byla bych ráda, kdyby mi to někdo vyvrátil či potvrdil.

${1^3+2^3+\cdots+n^3}={\sum_{i=1}^n i^3}$

Řešení:

$\sum_{i=1}^n i^3 = \sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i} =$

$=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}+3\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}+3\frac{n(n+1)}{2}=$

$=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Nesedí mi to už v sumě...

holyduke

↑ xstudentíkx:
Ahoj, tady je to hezky vysvětleno (druhý link)

emsinko · 16. 09. 2015 00:30

↑ xstudentíkx:
Vysledok mas dobry

xstudentíkx · 16. 09. 2015 16:49

↑ holyduke:

Děkuji za odkaz. Jde mi o to, že mám dojem, že tato rovnost neplatí. Pokud dám k sobě výrazy v sumě, tak nedostanu $i^{3}$ ale $i^{3}+2i$

a v dalším kroku rovněž neplatí: $\frac{n^{4}+2n^{3}+5n^{2}+4n}{4}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ , postup je z jednoho webu a ač je výsledek správně, tak dle mě postup není.

jelena · 17. 09. 2015 10:46

Zdravím,

xstudentíkx napsal(a):
Jde mi o to, že mám dojem, že tato rovnost neplatí. Pokud dám k sobě výrazy v sumě, tak nedostanu $i^{3}$ ale $i^{3}+2i$

rozumím správně, že neplatí "řešení" (nebo část řešení), které jsi uvedla v ↑ příspěvku 1:? Tento vztah

$\sum_{i=1}^n i^3 = \sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i} =$

mi snad také nevyšel, ale za své schopnosti násobit bych neručila (sčítala kalkulačka).

postup je z jednoho webu a ač je výsledek správně, tak dle mě postup není.

pokud rozumím, tak "jeden web" má tento vzorec a nesouhlasí to se vzorcem, který je běžně uváděn (a je hodně způsobu důkazů, vč. geometrických) - viz kolega ↑ holyduke:. Zkus možna ještě upřesnit, nejlépe odkazem na "jeden web". Děkuji.

xstudentíkx

Ahoj ↑ jelena:

Toto řešení je z tohoto webu. Když počítám poslední části řešení, nevychází mi výsledek $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ , ale jiný. Mám tedy dojem, že řešení je napsané špatně (také ti to nevyšlo, stejně jako mně). Špatné řešení tedy vede ke správnému výsledku, zda to tak je jsem si zde chtěla ověřit.

jelena · 17. 09. 2015 13:29

↑ xstudentíkx:

děkuji za upřesnění, pokud vidím dobře, tak není v pořádku roznásobení závorek v záložce "Otázka 2c) nápověda 1 řešení, po slovech "Sumu ∑ni=1i3 rozepišme obdobným způsobem jako dříve:", zkus překontrolovat (přechod z 1. řádku na 2.). Jak to vidíš? Děkuji.

xstudentíkx · 17. 09. 2015 14:52

↑ jelena:

Paráda. Takže sumy přepíšu na:

$\sum_{i=1}^n i^3 = \sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+\sum_{i=1}^n {i} =$ což už souhlasí.

Následně dostanu:

$\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}+3\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=$ a to už souhlasí :) Přebývalo tam násobení třemi.

jelena · 17. 09. 2015 21:09

↑ xstudentíkx:

ano, to tak vypadá, že v úpravách někde ztratili znaménko -i+2i. Oni mají kontakt, tak napiš, prosím, ať opraví. Jinak je to sbírka pěkná a pěkně se rozrůstá.

xstudentíkx · 17. 09. 2015 22:33

↑ jelena:

Určitě kontaktuji, našla jsem ještě jednu další chybu v jiném příkladu, tak toho bude trochu více :)

jelena · 18. 09. 2015 10:51

↑ xstudentíkx:

tak to je dobře: a) chyby se opraví, b) mají zpětnou odezvu, že materiál, co připravuji, je používán - to potěší.

Matematické Fórum

#1 15. 09. 2015 21:58

nekonečné součty

#2 15. 09. 2015 23:49 — Editoval holyduke (15. 09. 2015 23:53)

Re: nekonečné součty

#3 16. 09. 2015 00:30

Re: nekonečné součty

#4 16. 09. 2015 16:49

Re: nekonečné součty

#5 17. 09. 2015 10:46

Re: nekonečné součty

xstudentíkx napsal(a):

#6 17. 09. 2015 12:50 — Editoval xstudentíkx (17. 09. 2015 12:51)

Re: nekonečné součty

#7 17. 09. 2015 13:29

Re: nekonečné součty

#8 17. 09. 2015 14:52

Re: nekonečné součty

#9 17. 09. 2015 21:09

Re: nekonečné součty

#10 17. 09. 2015 22:33

Re: nekonečné součty

#11 18. 09. 2015 10:51

Re: nekonečné součty

Zápatí