Matematické Fórum

duskin · 18. 09. 2015 21:16

Zdravím, zkusil jsem udělat důkaz věty o supremu, ale nejsem si jistý jeho správností.
Věta: Nechť M je číselná, neprázdná, shora omezená množina. Potom existuje jedno a jen jedno číslo G splňující vlastnosti:
1) $\forall x\in M;x\le G$
2) $\forall G'<G,\exists y\in M;y>G'$

To, že existuje alespoň jedno je už zaručeno z definice omezenosti. Předpokládejme, že existují dvě různá G1,G2 , pro která platí $G_{1}<G_{2}$ .
Tedy:
$\forall x\in M;x\le G_{1}$
$\forall x\in M;x\le G_{2}$
$\forall G'_{1}<G_{1},\exists y_{1}\in M;y_{1}>G'_{1}$
$\forall G'_{2}<G_{2},\exists y_{2}\in M;y_{2}>G'_{2}$

Kdybych ale zvolil $G'_{2}=\frac{G_{1}+G_{2}}{2}<G_{2}$ , tak žádné takové $y_{2}$ nenajdu, protože
platí $\forall x\in M;x\le G_{1}<\frac{G_{1}+G_{2}}{2}=G'_{2}$ , takže nenajdu žádné $y_{2}\in M;y_{2}>G'_{2}$ . kdyby to bylo obráceně, tedy G1>G2, tak se postupuje analogicky.

Děkuji za pomoc.

Rumburak

↑ duskin:

Ahoj.

Nutno zdůraznit, že zmíněná věta platí

1. v oboru čísel celých,

2. v oboru čísel reálných ,

avšak NEPLATÍ v oboru čísel RACIONÁLNÍCH. Například množina všech rac. č. $x$ splňujících $x^2 < 2$ je
neprázdná a shora omezená, avšak v množině rac. čísel supremum nemá (jejím supremem v množině reál. č.
je $\sqrt{2}$ , což ale není rac. číslo).

Předpokládám, že Tě zajímá důkaz věty pro obor reálných čísel. K jeho provedení je potřeba vyjít z konstrukce
reálných čísel z čísel racionálních. Takové konstrukce jsou nejznámější dvě:

1. Dedekindova metoda řezů v množině rac. č.

2. Metoda úplného obalu množiny rac. č. pomocí cauchyovských posloupností rac. č.

Obě tyto metody jsou co do výsledků ekvivalentní.

Chceš-li důkaz věty o supremu pochopit případně sám sestrojit, budeš se muset seznámit s některou z uvedených metod,
na jejímž základě lze pak důkaz provést.

Literatura.

Vojtěch Jarník: Diferencilní počet I. (Dedekindova metoda).

K pochopení metody úplného obalu je nutno nejprve se prokousat určitými partiemi topologie, které jsou vyloženy v knize
Eduaard Čech: Bodové množiny. Tamtéž je, pokud se nepletu, vyložen i úplný obal.

kaja.marik · 23. 09. 2015 18:23

1) souhlas s Rumburakem a jedno doplneni: V axiomaticke vystavabe realnych cisel je skutecnost, ze neprazdna shora ohranicena mnozina realnych cisel ma supremum jeden z axiomu. Ten posledni, ktery odlisi realna cisla od racionalnich.

2) Vy tvrdite, ze existence suprema je jasna (opravdu je, pokud to mate jako jeden z axiomu axiomaticke vystavby realnych cislel) a dokazujete jednoznacnost. To se dela jako u kazdeho jineho suprema a neni potreba na to jit tak slozite jak pisete. Pokud je $G_1<G_2$ a $G_2$ je supremum, potom existuje $y\in M$ takove, ze $y>G_1$ (jinak by $G_2$ nebylo supremum). Ale to znamena, ze $G_1$ neni ani horni zavora, takze tim spis to nemuze byt supremum.

vanok · 24. 09. 2015 12:53

Pozdravujem.
Poznamka.
Existencia sup v ohranicenej casti v $\mathbb{R}$
Je ekvivalentna z
Kazda realna z hora ohranicena rastuca postupnost konverguje.

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2015 21:16

Věta o supremu

#2 23. 09. 2015 15:24 — Editoval Rumburak (23. 09. 2015 15:25)

Re: Věta o supremu

#3 23. 09. 2015 18:23

Re: Věta o supremu

#4 24. 09. 2015 12:53

Re: Věta o supremu

Zápatí