Matematické Fórum

alik33 · 25. 09. 2015 11:05 — Editoval alik33 (25. 09. 2015 11:06)

$16x^4-96x^3+216x^2-216x+81=0$

Zdravim,

ako zistim korene tohto vyrazu?

Dakujem

Rumburak · 25. 09. 2015 11:17

↑ alik33:

Ahoj.

Na rovnici můžeme aplikovat substituci $y = 2x$ , nová rovnice pak bude mít menší koeficienty a bude o něco přehlednější.

vytautas · 25. 09. 2015 11:31

↑ alik33:

hint 2

skús sa pozrieť na prvý( $16$ ) a posledný koeficient ( $81$ )
sú to pekné čísla ktoré majú niečo spoločné

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Xellos · 25. 09. 2015 11:59

Vseobecna metoda ktoru je dobre vediet (aj ked tu viac pracna): hladaj racionalne korene ( $x=\pm a/b$ ). Plati ze ak je $x$ v takom tvare, tak $a$ deli posledny koeficient (ten pri $x^0$ ) a $b$ prvy.

V tomto pripade teda $a|81,b|16$ . A je dobre zacat malymi delitelmi.

alik33 · 25. 09. 2015 17:09

Skusil som substituciu $y=2x$ , tak mi vyslo:
$8y^3-48y^2+108y-108+81=0$

Následne som spravil substituciu $z=4y$ :
$2z^2-12z+27-27=0$
a z toho som sa dopracoval k:
$2z*(z-6)=0$ => $z_{1}=0; z_{2}=6$

a potom som resubstituoval:
resubstitúcia $z=4y$ :
1) $z=4y; 0=4y; y=0$
2) $z=4y; 6=4y; y=\frac{3}{2}$

dalej resubstitucia $y=2x$ :
1) $x=0$
2) $x=\frac{3}{4}$

Btw riesenie ma byt $\frac{3}{2}$

Viete mi povedat, kde som spravil chybu? Sedime tu nad tym 5 ako take bukvice a nevieme na to prist :D

misaH · 25. 09. 2015 17:20 — Editoval misaH (25. 09. 2015 18:50)

y=2x

$16x^4=y^4$

a tak ďalej.

scirocco · 26. 09. 2015 22:27

Použiješ substitúciu $2x=y$ a dostaneš rovnicu (v normovanom tvare $y^4+ay^3+by^2+cy+d=0$ ):

$y^4-12y^3+54y^2-108y+81=0$

V nej platí, že súčin koreňov je absolútny koeficient $y_1y_2y_3y_4=d$ , teda:

$y_1y_2y_3y_4=81$

a súčet koreňov je mínus kubický koeficient $y_1+y_2+y_3+y_4=-a$ , teda

$y_1+y_2+y_3+y_4=12$

Keďže $81=3^4$ a $3+3+3+3=12$ , $3$ je štvornásobný koreň rovnice.

Dosadíš späť do substitúcie a dostaneš $x=\frac{3}{2}$ .