Matematické Fórum

zdeneksedlar1 · 26. 09. 2015 13:00

Ahoj, nevěděl by tady někdo prosím jak vypočítat tento příklad.. Nevím jestli jdu na to správně když to počítám přes logaritmický derivování. Prostě se nemužu dopočítat spravnýho výsledku.. Byl by tady někdo ochotný kdo by mi to rozepsal :) Předem díky !
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/65208_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

jarrro · 26. 09. 2015 13:52

$\mathrm{tg}{$x$}\ln{$\frac{1}{x}$}=\frac{\sin{$x$}}{\cos{$x$}}\ln{$\frac{1}{x}$}=-\frac{1}{\cos{$x$}}\frac{\sin{$x$}}{x}\frac{\ln{$x$}}{\frac{1}{x}}$

Freedy · 26. 09. 2015 14:01 — Editoval Freedy (26. 09. 2015 14:06)

Ahoj,

$\lim_{x\to0^+}x^{-\text{tg}x}=\lim_{x\to0^+}\mathrm{e}^{-\text{tg}x\ln x}=\mathrm{e}^{\lim_{x\to0}(-\text{tg}x\ln x)}$
nyní řešíš limitu:
$\lim_{x\to0}(-\text{tg}x\ln x)$ přepíšeš si ji na podíl jako:
$\lim_{x\to0}(-\text{tg}x\ln x)=-\lim_{x\to0^+}\frac{\text{tg}x}{\frac{1}{\ln x}}$
tato limita je typu 0/0, můžeš tedy aplikovat L'hospitalovo pravidlo:
$-\lim_{x\to0^+}\frac{\text{tg}x}{\frac{1}{\ln x}}\Rightarrow LP\Rightarrow -\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{\cos ^2x}}{-\frac{1}{x\ln ^2x}}=\lim_{x\to0^+}\frac{x\ln ^2x}{\cos ^2x}$
Tady ty limita sice vypadá pořád špatně, nicméně se dá zapsat jako:
$\lim_{x\to0^+}\frac{x\ln ^2x}{\cos ^2x}=\underbrace{\lim_{x\to0^+}\frac{1}{\cos ^2x}}_{1}\cdot \lim_{x\to0^+}(x\ln ^2x)$
Řešíš tedy limitu $\lim_{x\to0^+}(x\ln ^2x)$ kterou si opět zapíšeš jako podíl:
$\lim_{x\to0^+}(x\ln ^2x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln ^2x}{\frac{1}{x}}\Rightarrow \frac{ \infty }{\infty }$
opět můžeš tedy použít L'hospitalovo pravidlo a máš:
$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln ^2x}{\frac{1}{x}}\Rightarrow LP \Rightarrow \lim_{x\to0^+}\frac{\frac{2\ln x}{x}}{-\frac{1}{x^2}} =-2\lim_{x\to0^+}(x\ln x)$ ... stále z tohoto nelze dopočítat limitu, proto opět zapíšeme jako podíl a máme:
$-2\lim_{x\to0^+}(x\ln x)=-2\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\Rightarrow \frac{\infty }{\infty }$ opět tedy použijeme L'hospitalovo pravidlo:
$-2\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\Rightarrow LP \Rightarrow -2\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=2\lim_{x\to0^+}x$
a limitu $2\lim_{x\to0^+}x$ již není potřeba řešit.
Jelikož původní limita, kterou jsme řešili, byla:
$\lim_{x\to0^+}\mathrm{e}^{-\text{tg}x\ln x}$ a spočítalo se, že $\lim_{x\to0^+}(-\text{tg}x\ln x)=0$ tak je výsledek skutečně $\mathrm{e}^{0}=1$

↑ jarrro:
daleko hezčí postup. Jít na to přes tabulkové limity mě nenapadlo :) postup na jeden řádek versus postup na 20 řádku...