Matematické Fórum

dugbutabi · 26. 09. 2015 15:46

Dobrý den, prosím o pomoc, tento příklad vypočítat umím
$z^{2}=2i$

Ovšem jak by se počítalo toto?
$(\frac{z-1}{z+2})^{2}=2i$

Předem děkuji.

Freedy · 26. 09. 2015 16:14 — Editoval Freedy (26. 09. 2015 16:15)

Ahoj,

umocnit, vynásobit celou rovnici jmenovatelem (z se nerovná -2) a poté řešit kvadratickou rovnici přes vzorec, popřípadě jinou metodou.

nebo zavést substituci $\frac{z-1}{z+2}=a$ vypočítat $a = \pm \sqrt{2\text{i}}$ a poté se vrátit k původní proměnné.

dugbutabi

$a^{2}=2i$
$a^{n}=z_{0}, n=2, z_{0}=2, |z_{0}|=2, \varphi _{0}=\frac{\pi }{2}$
$|a|=\sqrt[n]{|z_{0}|}=\sqrt{2}$
$\varphi =\frac{\varphi _{0}+2k\pi }{2}$
$k=0$ $\varphi ^{(0)}=\frac{\pi }{4}\in (-\pi ,\pi \rangle$
$k=-1$ $\varphi ^{(-1)}=\frac{\frac{\pi }{2}-2k\pi }{2}=-\frac{3\pi }{4}\in (-\pi ,\pi \rangle$

$a^{(0)}=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=1+i$
$a^{(-1)}=\sqrt{2}(\cos \frac{-3\pi }{4}+i\sin \frac{-3\pi }{4})=-1-i$

Prosím o pomoc, nevím jak se vrátit k původní proměnné. Děkuji.

Xellos · 26. 09. 2015 16:54

$a^{0}=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asi nie. $a^0=1$ vzdy.

dugbutabi · 26. 09. 2015 16:57

↑ Xellos:
Omlouvám se, zapomněl jsem tam závorky, je to $a$ pro případ, kdy $k=0$

Freedy · 26. 09. 2015 17:13 — Editoval Freedy (26. 09. 2015 17:15)

Máš jen trošku špatné značení.
$a^2=2\text{i}$ tedy
$a^2=2\bigg(\cos \frac{\pi }{2}+\text{i}\sin \frac{\pi }{2}\bigg)$ >>>
$a_k=\sqrt{2}\bigg(\cos \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{2}+\text{i}\sin \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{2}\bigg)$

Máš tedy dva kořeny
Pro k = 0
$a_0=\sqrt{2}\bigg(\cos \frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4}\bigg)=1+\text{i}$
Pro k = 1
$a_1=\sqrt{2}\bigg(\cos \frac{5\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{5\pi }{4}\bigg)=-1-\text{i}$

Sám si můžeš ověřit, že po umocnění těchto čísel, dostaneš původní hledanou odmocninu a tedy 2i
$(1+\text{i})^2 = 1+2\text{i}+\text{i}^2 = 2\text{i}$
$(-1-\text{i})^2 = 1+2\text{i}+\text{i}^2 = 2\text{i}$

Nyní navrácení k původní rovnici.
Řešíš to jako 2 části. Pro $a_0=1+\text{i}$ je to tedy:
$\frac{z-1}{z+2}=1+\text{i}$ vynásobíš celou rovnici (z+2)
$z-1=(1+\text{i})(z+2)$ upravíš
$z-1=z+2+z\text{i}+2\text{i}$
$z\text{i}=-3-2\text{i}$ nyní už pouze vydělíš celou rovnici ičkem a máš:
$z=\frac{-3-2\text{i}}{\text{i}}$ nicméně, takovýto tvar není konečný, musíš číslo převést do tvaru, kdy jsou patrné jeho obě složky. Usměrnit tedy zlomek tak, aby nebylo "i" ve jmenovateli. Tedy:
$z=\frac{-3-2\text{i}}{\text{i}}\cdot \frac{\text{i}}{\text{i}}=-2+3\text{i}$
Druhá část je naprosto stejná

Na závěr provedeš zkoušku a ověříš správnost řešení:
$\bigg(\frac{(-2+3\text{i})-1}{(-2+3\text{i})+2}\bigg)^2=2\text{i}$
$\bigg(\frac{-1+\text{i}}{\text{i}}\bigg)^2=2\text{i}$
$(1+\text{i})^2=2\text{i}$