Matematické Fórum

domiblack · 27. 09. 2015 22:12 — Editoval jelena (30. 09. 2015 13:09)

Ahojte, vedeli by ste mi prosím vysvetliť ako matematickou indukciou dokážem toto? Vďaka :) $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}\ge n$

Jelena: edit: jak ukázala následná diskuse, uvedený vztah nebyl platný (a v příspěvku č. 8 kolega vanok navrhl možné znění úlohy, které je dále diskutováno)

Eratosthenes · 27. 09. 2015 23:24

ahoj ↑ domiblack:,

tvrzení neplatí. Zvol $x_1=0$ , $x_2=1$ . Pak je $\frac{x_{1}}{x_{2}}<2=n$

domiblack · 27. 09. 2015 23:42

↑ Eratosthenes: hop,prave pozeram,ze som zabudla uviest podmienky, $X_{1}...x_{n}$ su kladne :)

Xellos · 28. 09. 2015 01:30

Tak zvol x1=1, x2=2. Zasa neplati.

domiblack · 28. 09. 2015 08:57

↑ Xellos: prave som pozrala ze v ucebnici radia to napisat ako $\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\le \frac{1}{n}$ a to dokazat, ale naozaj netusim ako :/

jarrro · 28. 09. 2015 10:08

Ako chceš dokazovať NEPRAVDIVÉ resp. neúplné tvrdenie?

domiblack · 28. 09. 2015 14:24

↑ jarrro: však práve, tiež sa divim,kedze v knihe je to dokazane ..

vanok · 28. 09. 2015 15:49 — Editoval vanok (28. 09. 2015 15:49)

Pozdravujem
Nechcela si dokazat ze
$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}+\frac{x_n}{x_1}\ge n$
Pre ostro kladne realne $x_i$ ?

domiblack · 28. 09. 2015 16:38

ahoj, našla som v inej knihe aj prvé dve časti tohto príkladu (bez ktorých to nejde) a postupovala som takto:

1. Dokážte, že platí: ak $x_{1}>1$ a $x_{2}<1$ , potom $x_{1} + x_{2} > x_{1}x_{2} + 1$ .
Dôkaz:
$x_{1} - x_{1}x_{2} >1-x_{2}$
$x_{1} (1-x_{2})>1-x_{2}$ a to platí aj pre $x_{2}$ = 0 ( $x_{1}>0$ ) aj pre x_{2} iné od 0 ( $x_{1}>1$ )

2. Na základe toho dokážte, nech $x_{1},...x_{n}$ sú kladné čísla také, že $;$ potom $x_{1} + x_{2}+...+x_{n}\ge n$ .
Dôkaz:
-čiže ak platí, že $x_{1}x_{2}...x_{n}=1$ , potom $x_{1}>1$ a $x_{2}<1$ (čo je vlastne to isté ako v prvom príklade, čiže $x_{n}>1 a x_{n+1}<1$ )
-ak použijeme predpoklad, že to bude platiť aj pre k+1, potom to vyzerá takto (z 1. príkladu)
$x_{1}+x_{2}+x_{n}+x_{n+1}>x_{1}x_{2}x_{n}x_{n+1}+1$ $\ge n+1$ (čo platí)

a teraz sa dostávame k prípadu číslo 3 (ktorý mi robí problém), kedy
a) $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}\ge n$
b) $\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\le \frac{1}{n}$
kde $x_{1}...x_{n}$ sú kladné čísla

vanok · 28. 09. 2015 17:31

Ahoj
Mas tam naznak dokazu vdaka GA nerovnosti.
No vsak to sa da pouzit len v pripade ktory popisujem ↑ vanok:
Vtedy dostanes
$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}+\frac{x_n}{x_1}\ge n\sqrt[n]{\frac{x_{1}}{x_{2}}*\frac{x_{2}}{x_{3}}*...*\frac{x_{n-1}}{x_{n}}*\frac{x_n}{x_1}}=n$
(Ako vidis pod odmocninou mam 1, a ty nie).
To ukoncuje dokaz.
Ale skutocne viem to dokazat aj indukciou.
Mozem ti v tom pomoct. Ale najprv si uvedom chyby v tvojom zadani. ( ak je to skutocne tak ako pises v nejakek knihe, tak ju hod okamzite do kosa !)

vanok · 30. 09. 2015 00:08

Ako vidim nic nove, co sa tyka dokazu.
Mimoriadne tu dam navod na riesenie indukciou, problemu vo forme ako treba ↑ vanok: ako som to napisal vysie.
Robim to len preto, lebo ide o trochu delicatny dokaz.
Nerovnost $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}+\frac{x_n}{x_1}\ge n$ pre $x_i>0$ ,
Plati pre n=2,.......
Kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pokracujme z dokazom.
Predpokladajme, ze vzorec plati pre n-1 lubovolnych cisiel >0.
Tak pre n ostro pozitivnych cisiel $x_1,..., x_n$ aplikujme
vzorec na $n-1$ prvych z nich, co da
$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_1}\ge n-1$ .
Aby sme dokazali, ze
$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}+\frac{x_n}{x_1}\ge n$
staci aby $\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}-\frac{x_{n-1}}{x_1} \ge 1$ , $(*)$
Teraz treba mat dobru trochu trikovu myslienku. Aby som ti celkom nepokazil radost, po hladani pozri na to co tu je skryte.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

domiblack · 30. 09. 2015 07:11

↑ vanok: aha,uz asi rozumiem,co myslis! :) dakujem ti pekne,idem si nad to sadnut a cele si to este raz prejst

jelena · 30. 09. 2015 09:40

Zdravím,

dle zprávy kolegy vanok v reportech moderátorům přesouvám do zajímavých, jen bych chtěla doplnit do úvodního příspěvku ještě správné zadání (původní příspěvek ponechám celý), jen co, prosím, mám doplnit? Děkuji.

vanok · 30. 09. 2015 11:15

Pozdravujem ↑ jelena:
Moj prispevk #8 obsahuje spravnu formu textu cvicenia.
Skutocne v povodnom prispevku chyba jeden scitanec. Preto ako ukazali prve prispevky nemohol mat ani riesenie.
No ale pre citatela moze ist o poucnu chybu.
Ako sa da vidiet v #10 existuje aj jednoriadkove riesenie vdaka GA nerovnosti (GA=geometricko-arimetmeticka).

jelena · 30. 09. 2015 13:11

↑ vanok: zdravím a děkuji za upřesněni, přidala jsem odkaz do ↑ úvodního příspěvku:.

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2015 22:12 — Editoval jelena (30. 09. 2015 13:09)

Dôkaz indukciou

#2 27. 09. 2015 23:24

Re: Dôkaz indukciou

#3 27. 09. 2015 23:42

Re: Dôkaz indukciou

#4 28. 09. 2015 01:30

Re: Dôkaz indukciou

#5 28. 09. 2015 08:57

Re: Dôkaz indukciou

#6 28. 09. 2015 10:08

Re: Dôkaz indukciou

#7 28. 09. 2015 14:24

Re: Dôkaz indukciou

#8 28. 09. 2015 15:49 — Editoval vanok (28. 09. 2015 15:49)

Re: Dôkaz indukciou

#9 28. 09. 2015 16:38

Re: Dôkaz indukciou

#10 28. 09. 2015 17:31

Re: Dôkaz indukciou

#11 30. 09. 2015 00:08

Re: Dôkaz indukciou

#12 30. 09. 2015 07:11

Re: Dôkaz indukciou

#13 30. 09. 2015 09:40

Re: Dôkaz indukciou

#14 30. 09. 2015 11:15

Re: Dôkaz indukciou

#15 30. 09. 2015 13:11

Re: Dôkaz indukciou

Zápatí