Matematické Fórum

↑ liamlim:
Zaleží co je myšleno tím, že čísla dělitelná 3 nejsou podstatná. jedna věc je, že tím můžeš myslet to, že zkoumáš jen čísla nedělitelná 3, která se periodicky vyskytují, ale podle mého to neznamená, že můžeš definovat libovolně další člen pro x dělitelný 3. jak jsem psal, podle tvé definice je zřejmé, že 2^n-1 dělitelné 3 dospěje k 1 - ovšem pro collatzovu hypotézu to zřejmé není. Tak se totiž může stít, že v collatzově posloupnosti budou čísla nedělitelná 3 stále větší a větší a ve tvé nově definovaná půjde o čísla 1,4,2,1,... (ktrreá rovněž nejsou dělitelná 3).

↑ liamlim:
Co je jasné ,ale co nesouvisí s tvým postupem:
krok 3x+1 se nemůže aplikovat 2x po sobě - peorože jej aplikuješ jen na liché x a tedy tím získáě sudé 3x+1. naopak krok x/2 může být aplikován i vícekrát - a zbavuješ se tak mocnin 2 v rozkladu čísla x. To by vysvětlovalo heuristicky proč koeficienty 1/2 můžou nakonec "přebít" koeficient 3: Poztřebuju totiž v průměru na každou jednu aplikaci koeficentu 3 použít n aplikací koeficientu 1/2, kde n splňuje . Tedy n je cca 1.585, tzn. po prvním provedení kroku x/2 musí průměrně proběhnout ještě dalších 0.585 kroků. Když to vezmeme pravděpodobnostně, tak průměrný počet kroků x/2 bude dán očekávaným počtem dělitelů, které jsou mocniny 2, tj. tento počet bude , což je 4 a to je o dost více než těch 1.585. Jenže to samozřejmě nezohledňuje to, že pro nějaké číslo to nemusí vycházet tak pěkně...

Tak jsem zase něco málo odvodil. Není to nic moc ale stejně to sem napíši.

Mějmě nějaké číslo pro které platí, že se aplikací collatzova pravidla dostaneme zpět k . Existují minimálně 3 taková vzhledem k cyklu 1 - 4 - 2 - 1.

Během tohoto cyklu využíváme pravidla přesně -krát a pravidla přesně -krát. Pak pro libovolné platí, že se z čísla dostaneme v rozkladu k číslu .

Př pro hodnotu : Z čísla  se dostaneme v rozkladu až k číslu . To si můžeme ověřit lehce propočítáním rozkladu.

To, co je zajímavé je to, že můžeme zvolit záporné. Podívejme se např. na hodnotu . Pak máme

-5  ->   -14   ->  -7   ->  -20   ->  -10  ->  -5

Máme tedy cyklus! Platí tedy následující:

Z čísla se vždy dostaneme na číslo . Zase to lze snadno ověřit aplikací Collatzova pravidla. Ale tentokrát by odvození podobného vztahu bylo problematické.

Zároveň si všimněme, že pokud v Collatzově pravidle pro lichá nahradíme výrazem pak dostaneme nové pravidlo, které se chová pro 5 naprosto stejně jako již uvedený cyklus. Toto nové pravidlo teď označím třeba A pravidlo. To je celkem jedno.

Všimněme si, že A pravidlo ovlivňuje pravidlo Collatzovo. Množství cyklů v A pravidle nám umožňuje nalézt dvojice čísel podobných a kdy z jednoho nutně Collatzovým rozkladem dojdeme k druhému. Co je zajímavé, úplně stejně by množství cyklů v Collatzově pravidle ovlivňovalo počet podobných čísel u A pravidla.

To vše píši jen tak pro zajímavost. Pochybuji, že to k něčemu je.

↑ check_drummer:

hmm taky si myslím že to na nic není. Nicméně i přesto jsem to trochu zobecnil (mě vždy jak nějaké zobecnění provedu přijde natolik lehké, že nechápu jak jsem na něj nemohl přijít dřív, ach jo).

V minulém jsem uvedl, že pokud v Collatzově rozkladu z narazíme na po děleních a násobeních, pak platí nějaký vztah. No a ono prostě platí i

Jestliže v Collatzově rozkladu z narazíme na po děleních a násobeních, pak platí, že se z čísla (pro libovolné ) dostaneme vždy k číslu .

edit: omlouvám se za divné značení

Díval jsem se na členy Collatzova rozkladu modulo 11. Došel jsem k zajímavé věci (  [k] budu označovat zbytky po dělení 11) . Pak pouze dělením vznikne následující:


[1] -> [6] -> [3] -> [7] -> [9] -> [10] -> [5] -> [8] -> [4] -> [2] -> [1]

jediné číslo, které není v tomto cyklu je [0] -> [0]


Naopak pokud budu uvažovat jen zvětšování (např 2k + 1 -> 6k + 4 -> 3k + 2) je pro mě nyní jeden krok, protože po vynásobení 3 a zvětšení o 1 nutně nastává dělení 2.

[1] +> [2] +> [9] +> [3] +> [5] +> [8] +> [7] +> [0] +> [6] +> [4] -> [1]

Teď zase dostaneme cyklus, který neobsahuje pro změnu [10] +> [10]

Mě jde o to, že existuje jeden "dělící" cyklus a jeden "násobící" cyklus. Každý collatzův rozklad je kombinací těchto. Např rozklad čísla 7 (mod 11).

7 +> 11 +> 17 +> 26 -> 13 +> 20 -> 10 -> 5 +> 8 -> 4 -> 2 -> 1
[7] +> [0] +> [6] +> [4] -> [2] +> [9] -> [10] -> [5] +> [8] -> [4] -> [2] -> [1]

O co mi jde. Zvládl by někdo dokázat, že pro "hodně" čísel existují podobné dva cykly? Za pomocí počítače jsem zjistil, že dělící cyklus existuje skoro vždy (pro mod nedělitelný 3). mod dělitelný dvěma se taky chová divně. Pokud je mod dělitelný 5 pak velký násobící cyklus neexistuje. Jindy se mi zdá, že existují vždy! A vždy existuje u násobícího cyklu prvek podobný 10 kdy  [10] +> [10]. A vždy existuje prvek [0] -> [0].

Myslím si, a mám takovou myšlenku, že by tohoto mohlo jít využít. Ale neumím dokázat, že opravdu ty cykly obsahuji všechna čísla kromě 0 a mod-1.

ahoj tak ma napadlo . platí

?
ja si myslím, že áno, lebo 1<n pre n>1 a ak sa niekedy každé číslo väčšie ako 1 zmenší tak pre 2 platí, že sa dostane na jednotku a ak sa všetky čísla menšie ako nejaké n dostanú na jednotku tak n sa niekedy zmenší aspoň na jedno z nich a to sa dostane na jednotku . je niekde v mojich úvahách chyba?