Matematické Fórum

Jirda · 31. 03. 2009 20:16

Zdravim,

nedvno jsme zacali probirat limitu.

Momentalne jsme dosli k ucivu, kdy se snazime vyraz zjednodusit tak, aby jej bylo vubec mozne vypocitat.

Uvedu tento priklad:
lim [x^3 - 3x +2] /[x^4 -4x +3]
x -> 1

A ted o co jde, je zrejme, ze by bylo vhodne jak v citateli tak ve jmenovateli vytknout takovy clen, ktery by bylo mozne vykratit a pritom vyraz zjednodusit.

Pri takovem postupu, bude v citateli vyraz (x-1).(x^2 + x -2) a ve jmenovateli se bude take opakovat (x-1).(x^3 + x^2 + x - 3). Tudiz bude mozne vyraz vykratit (x-1).

Nejde az tak o cisla, ale o to, ze abych dosel k tomuto tvaru, je nutne, abych kazdy mnohoclen vydelil mnohoclenem (x-1).

A ted, kde je problem..nejde az tak o cisla, ale nase profesorka nam rekla, ze v takovych pripadech mame delit bud mnohoclenem (x-1) nebo (x+2). Kdyz jsem se zeptal, jak mam poznat, ktery mnohoclen mam pouzit, abych dosahl vysledku bezezbytku, bylo mi odpovezeno, ze je to o citu a o praxi.

Zarazi me, ze se dostavam do role, kdy si musim tipnout, ktery mnohoclen pouzit a zaroven pocitat s tim, ze v pripade spatne volby budu muset opakovat operaci s druhym mnohoclenem.

A pri testu je takove zdrzeni nemile.

Proto se tedy chci zeptat, zda neexistuje jiny efektivnejsi zpusob, ci nejaky indikator, ktery by mi napovedel, ktery mnohoclen pro deleni pouzit?

Prtedem diky za odpovedi. Ptam se proto, abych pocital efektivne a ne formou tipu.

(Jen maly zerticek, nekteri mi spoluzaci reagovali slovy, "co bude priste? donesete tiket do sportky?")

lukaszh · 31. 03. 2009 21:17

↑ Jirda:
Nič nemusíš tipovať. Z príkladu je to úplne zrejmé. Ak ide o limitu typu 0/0, kde v čitateli aj v menovateli je polynóm, tak to číslo, ku ktorému sa blížiš je aj koreňom polynómu. Veď predsa
$\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}$
kde $P(a)=0,Q(a)=0$ , to ti hovorí, že číslo a je koreňom polynómu. Preto sa polynóm dá zapísať v tvare
$P(x)=(x-a)A(x)\nlQ(x)=(x-a)B(x)$
A potom jednoducho delíš. Vezmem príklad:
$\lim_{x\to 5}\frac{x^2-3x-10}{x^2-4x-5}$
Dosadím číslo 5 a vidím, že aj v polynóm v čitateli nadobúda hodnotu nula ako aj menovateľ. Preto 5 je koreňom oboch polynómov a môžem vyňať:
$x^2-3x-10=(x-5)A(x)\nlx^2-4x-5=(x-5)B(x)$

Ide o základy o polynómoch. Tam kde polynóm nadobúda nulovú hodnotu, to je koreň.

Jirda · 31. 03. 2009 21:48

↑ lukaszh:
Dekuji za objasneni. Bohuzel, ma profesorka zvolila postup, ktery jsem popisoval vyse a o teto moznosti, jsem netusil. Teprv s tim zaciname.

lukaszh · 31. 03. 2009 21:50

↑ Jirda:
Stačí si spomenúť na kvadratické rovnice. Hľadáš také čísla x, pre ktoré je výraz $ax^2+bx+c$ nula. No a tieto sa nazývajú korene a uvedenú rovnicu potom možno zapísať v tvare $a(x-x_1)(x-x_2)$ , takže keď je a koreňom tak ho jednoznačne môžeš vyňať.

jelena · 31. 03. 2009 23:35

Zdravím vás :-)

paní profesorka zřejmě chtěla doporučit, že pokud se pokoušíme jeden z kořenů "uhodnout", tak zkoušíme nějaký jednoduché číslo (1, -1, 2...). Alespoň doufám, že to tak nějak komentovala.

Návod kolegy lukaszh(e) je naprosto OK a občas pomůže i táto cesta:

$\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\frac{x^3-x-2x+2}{x^4 -x -3x+3}=\frac{x(x^2- 1)-2(x -1)}{x(x^3 -1) - 3(x -1)}=\nl=\frac{x(x-1)(x+1)-2(x -1)}{x(x -1)(x^2+x+1)- 3(x -1)}$

rozumíme se?

Jinak se používá všechno, co se hodí na úpravu algebraických výrazů - vytýkání, dělení mnohočlenů, vzorce

Ať se daří :-)

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2009 20:16

Limita

#2 31. 03. 2009 21:17

Re: Limita

#3 31. 03. 2009 21:48

Re: Limita

#4 31. 03. 2009 21:50

Re: Limita

#5 31. 03. 2009 23:35

Re: Limita

Zápatí