Matematické Fórum

unknow005 · 25. 09. 2015 15:38

Dobrý den,

mohl bych poprosit o pomoc s drobným problémem? Rád bych si naprogramoval drobnou aplikaci k CNC a pro výpočet rozměru plánu hledám nějaký rychlejší způsob, jak zjistit rozměry oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému. Doteď jsem oblouk (kružnici) sekal na malé části a tím získával minimální a maximální hodnoty pro osu X a Y. Určitě by ale někoho napadlo lepší a rychlejší řešení.

Vstupní hodnoty:
- Znám vzdálenost (X,Y) od počátečního bodu do koncového bodu
- Znám vzdálenost (X,Y) od počátečního bodu do středu oblouku (kružnice)
- Znám směr oblouku (kružnice)
- Počáteční bod kružnice je [0,0] (tj. X=0 a Y=0)

Výstupní hodnoty by měly být minimální a maximální hodnoty v ose X a Y. Pro jistotu jsem nakreslil obrázek. Bod 'Počátek' je v [0,0]. Každé zadání má dvě řešení (podle směru oblouku (kružnice), jedno je černou, druhé červenou plnou barvou). Body X1, X2, Y1, Y2 jsou neznámé, které je potřeba spočítat.

Obrázek:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/88191_kruh_rozmery.png

Prosím, zná někdo řešení? Zkoušel jsem to přes určení kvadrantů + sin a cos úhlů, ale někde dělám chybu.

Děkuji.

jelena · 25. 09. 2015 19:38

Zdravím,

mně to není moc jasné:
a) "zjistit rozměry oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému" - délku oblouku nebo souřadnici koncového bodu?
b) Vstupní hodnoty:
- "Znám vzdálenost (X,Y) od počátečního bodu do koncového bodu" - to znamená, že je zadána délka úsečky PK (od Počátku do Konce po přímce, v mm)?
- Znám vzdálenost (X,Y) od počátečního bodu do středu oblouku (kružnice)
- to znamená, že je zadán poloměr kružnice se středem S?

A účelem je při takové poloze kružnice najít souřadnice úplně dolního bodu na kružnici (odpovídá lince y2), úplně horního bodu na kružnici (linka y1), úplně nalevo (linka x1) a úplně napravo (linka x2)? Kde je tedy ten "oblouk",jehož rozměry dle názvu tématu je účelem počítat? Lze ho nějak vyznačit na obrázku (červené vyznačení je oblouk PK, neodpovídá ale "linkám")? Děkuji.

unknow005 · 26. 09. 2015 01:16

↑ jelena:

ano, nepopsal jsem to moc rozumně a nedivím se, že je to trošku nejasné. Zkusím to vysvětlit jinak, snad to bude lepší:

Znám bod 'Počátek'. Od tohoto bodu znám X a Y vzdálenost do bodu 'Střed' a 'Konec'. Pomocí Pythagorovy věty lze vypočítat poloměr (vzdálenost mezi body 'Počátek' a 'Střed'). Rovnice má vždy dvě řešení. Pro každé řešení je třeba najít nejmenší a největší hodnoty na ose X a Y.

Nakreslil jsem nový obrázek. Jedno řešení je modrou barvou, druhé zelenou. Je potřeba pro obě řešení najít body na ose X a Y (ty slabé čáry).

Nový obrázek:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/22802_obrazek.png

Děkuji.

jelena · 26. 09. 2015 08:58

↑ unknow005:

také děkuji,

Znám bod 'Počátek'. Od tohoto bodu znám X a Y vzdálenost do bodu 'Střed' a 'Konec'.

to znamená, že mám souřadnice bodů P[0, 0], S[X_s, Y_s], K[X_k, Y_k], lze zakreslit do souřadnic a lze také vypočítat délky úseček PS, PK. Tedy mám kružnice se středem P, poloměrem PK a se středem S, poloměrem PS, obě kružnice mohu popsat rovnici kružnic. Průsečík těchto kružnic je bod K (a ještě jeden bod ve vzdálenosti PK, ale nalevo od P). Ovšem souřadnice bodu K znám, proto již nic nepokračuje.

úplně dolní a úplně horní bod na kružnici mají stejnou x-souřadnici, jako S, y-souřadnice jde dopočítat jako rozdíl (součet) Y_s+/-R_s (zde R_s je poloměr kružnice se středem S). Obdobně i úplně levou a pravou polohu bodu na kružnici. Je to, co potřebuješ při určení "slabých čar"?

Jen pořád nevím, jakou to má souvislost se zeleným nebo modrým obloukem a s polohou bodu "Konec" :-(

unknow005 · 26. 09. 2015 14:55

↑ jelena:

Upravuji si aplikaci pro CNC, které umí pracovat s oblouky. Řízení CNC zná body P[0, 0], S[X_s, Y_s], K[X_k, Y_k] (viz. tvůj předchozí příspěvek) a směr oblouku (po směru hod. ručiček, nebo proti směru hod. ručiček).

Na obrázku jsou zakreslené dva oblouky - jeden modrý a druhý zelený. Oba mají společné body P, S, K, ale modrá je po směru hod. ručiček, zelená proti směru hod. ručiček.

Rád bych zjistil u obou oblouků (tj. body P, S, K mají vždy dvě řešení) jejich minimální a maximální hodnoty na ose X a Y. Ty slabé čáry protínají vždy osy X a Y a tyto body bych rád zjistil.

Děkuji.

jelena · 26. 09. 2015 15:15

↑ unknow005:

rozumím tomu správně, že potřebuješ polohu bodů, co jsem vyznačila křížkem? //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/73043_oblouk.jpg

Potom je to tak, jak jsem napsala:

úplně dolní a úplně horní bod na kružnici mají stejnou x-souřadnici, jako S, y-souřadnice jde dopočítat jako rozdíl (součet) Y_s+/-R_s (zde R_s je poloměr kružnice se středem S). Obdobně i úplně levou a pravou polohu bodu na kružnici. Je to, co potřebuješ při určení "slabých čar"?

jde to napsat i podrobněji.

Jiná věc je, že při např. "hodně krátkém" zelenem oblouku už na sobě nebude mít ten úplně dolní bod (skončí před dolním křížkem). Tj. potřebuješ ještě nějaké ověření, že ten bod je na oblouku? A celkově - píšu o tom, co potřebuješ? :-)

unknow005 · 26. 09. 2015 18:32

↑ jelena:

Jéééje ... už mě nenapadá jak to jinak popsat. Když si představíte libovolný oblouk s bod P[0, 0], S[X_s, Y_s], K[X_k, Y_k]. Jaké minimální a maximální rozměry tento oblouk má pro osu X a Y?

jelena · 26. 09. 2015 18:57

↑ unknow005:

:-) oblouk jsem si představila. Konkretně ten zelený oblouk, co je na obrázku, mohu umístit do růžového rámečku a rozměry tohoto rámečku vypočtu. Také umím sestavit rovnice přímek, co tvoří rámeček.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/86560_oblouk.jpg

No a teď Ty, prosím, vyznač, kde jsou minimální a maximální rozměry tohoto zeleného oblouku pro osu X a Y.

unknow005 · 26. 09. 2015 22:08

↑ jelena:

ano, rozměry každého z oblouků by se dalo napsat jako body vrcholů opsaného rámečku. Je potřeba ale myslet na to, že ten oblouk může být levotočivý, pravotočivý, menší nebo větší než čtvrt kruh (polokruh, třičtvrtě kruh nebo kružnice) - prostě jakýkoliv.

Děkuji.

jelena · 26. 09. 2015 23:01

unknow005 napsal(a):
Je potřeba ale myslet na to, že ten oblouk může být ...

já budu myslet :-) ovšem až pochopím, co znamená "minimální a maximální rozměry tento oblouk má pro osu X a Y?"

Úplně na úvod píšeš, že "Doteď jsem oblouk (kružnici) sekal na malé části a tím získával minimální a maximální hodnoty pro osu X a Y." Když touto metodou rozsekáš zelený oblouk na obrázku, jaké (nebo kde) má "minimální a maximální hodnoty pro osu X a Y"?

unknow005 · 26. 09. 2015 23:18

↑ jelena:

jedná se o zjištění velikosti plánu (pohybů jako jsou úsečky a oblouky (kružnice)) v ose X a Y. U úseček je to jasné, ale v případě oblouků jsou známy jen body P, S, K. Původně jsem rozsekával kružnici po malých částech a vypočítával tak body na oblouku (kružnici) a tím nakonec získal jeho "min a max" rozměry v ose X a Y. Jenže to je pomalé, a nepřesné (přesnost je závislá od toho jak precizně rozsekávám oblouk (kružnici).

Stačili by tedy zjistit body vrcholů opsaného rámečku oblouku (kružnice).

Děkuji.

Eratosthenes · 27. 09. 2015 09:53

ahoj ↑ unknow005:, ↑ unknow005:,

tak se na to dívám a nějak tomu nerozumím. Jestliže známe skutečně jen vzdálenosti střed - počátek a počátek - konec

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/40085_Troj1.png

pak se snažíme sestrojit trojúhelník SPK pouze ze dvou stran, což je dost málo. A i kdyby se nám to podařilo, tak známe umístění jen jednoho bodu (P - počátek), takže S může ležet kdekoli na modré kružnici nebo K na zelené kružnici.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/40126_Troj2.png

Takže podle mě chybí dva údaje. Nebo mi něco uniká?

jelena · 27. 09. 2015 10:07

↑ unknow005:

děkuji, to vypadá, že již se ujasnilo, co potřebuješ: "Stačili by tedy zjistit body vrcholů opsaného rámečku oblouku (kružnice).". Zkusím promyslet i něco více použitelného, zatím jako možnost vidím porovnat průsečíky přímky PK a přímek procházejících středem kružnice - podle vzájemné polohy se určí, zda omezující souřadnice "zvítězí" středová, nebo přímo bodů P, K.

Bude to program umět vyhodnotit něco takového: "pokud je směr "takový" a souřadnice průsečíku "větší/menší", potom maximální X je "takové", obdobně pro maximální Y?" Děkuji.

Z náhledu vidím kolegu Eratosthenes: v průběhu tématu jsem snad došla na to, že "vzdálenost X, Y" kolega označuje souřadnice bodu - jak se pohybuje stroj - vodorovně+svisle. Alespoň už tak beru. Tedy P, S, K jsou při zadání směru točení oblouku jednoznačně. Souhlasíte? Děkuji, zdravím.

unknow005 · 27. 09. 2015 12:01

↑ jelena:

Jéé ... nehledejte v tom nic složitého :) ... poslední obrázek. Snad lépe vysvětlí ty minimální a maximální rozměry oblouku (kružnice). Co je potřeba zjistit jsou body Ymax, Ymin, Xmax, Xmin.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/48089_kruh_detail.png

Děkuji.

jelena · 27. 09. 2015 12:24

↑ unknow005:

ano, přesně tak jsem i pochopila a navrhuji porovnávat ... ↑ příspěvek 13:. Provede to tedy program takové hodnocení:

"pokud je směr "takový" a souřadnice průsečíku "větší/menší", potom maximální X je "takové", obdobně pro maximální Y?"

v programu bude přímka $y=\frac{Y_k}{X_k}x$ , průsečík s $y=Y_s$ a průsečík s $x=X_s$ (výpočet soustavy lineárních rovnic), potom program musí umět vyhodnotit, zda nalezená souřadnice průsečíku je větší/menší souřadnice středu.

Jelikož ale jsme již celkem jasně problém zadefinovali, tak je možné, že kolegové navrhnou více použitelné řešení (můj plán je aktuální takový). Kolegům děkuji :-)

Eratosthenes · 27. 09. 2015 16:48

ahoj ↑ unknow005:,

Konečně jsem to snad pochopil. V tom případě je to ovšem triviální a nemusí tam být ani přímky, ani soustavy rovnic.
Spočítá se poloměr kružnice

$r=\sqrt {X_s^2+Y_s^2}$

A pak se je porovnají souřadnice koncového bodu s výrazy $X_s\pm r$ , $Y_s\pm r$ (což jsou minima a maxima na kružnici) podle toho, jak vypadá oblouk (těch případů není moc)

jelena · 27. 09. 2015 17:20

↑ Eratosthenes:

děkuji, to navrhuji skoro na úvod (příspěvek 4):

úplně dolní a úplně horní bod na kružnici mají stejnou x-souřadnici, jako S, y-souřadnice jde dopočítat jako rozdíl (součet) Y_s+/-R_s (zde R_s je poloměr kružnice se středem S). Obdobně i úplně levou a pravou polohu bodu na kružnici. Je to, co potřebuješ při určení "slabých čar"?

V následné diskusi ale se mi to vyvinulo k nějakému zpracování, které dokáže vyhodnocovat stroj. Ještě jsem uvažovala určovat pozice podle délky oblouku (ale nevím, co bude pracnější).

Eratosthenes napsal(a):
podle toho, jak vypadá oblouk (těch případů není moc)

to je vlastní jediný zádrhel strojového zpracování.

unknow005 · 27. 09. 2015 20:26

↑ jelena:↑ Eratosthenes:

Děkuji za příklady řešení, ale nemyslím si, že je to tak jednoduché. Na obrázku níže jsem nakreslil pár možných oblouků. Některé jsou krátké, v rámci jednoho kvadrantu, jiné přes dva, tři kvadranty. Důležité je i směr kružnice (je vedená od začátku Z ke konci K).

Samozřejmě, že si v programu mohu vytvořit různé podmínky. Nějaký návrh?

Děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-09/78124_priklady_kruznic.png

Eratosthenes · 27. 09. 2015 21:47

↑ unknow005:

No jo, ale to jsi nakreslil něco jiného než tady ↑ unknow005:. Takže kde je střed?

jelena · 27. 09. 2015 22:21

↑ Eratosthenes:

:-) ne jen, že jsme ztratili střed, ale od situace "Jéé ... nehledejte v tom nic složitého :)" jsme přišli k "ale nemyslím si, že je to tak jednoduché." (c)

Zpět k problému - co jsem trošku zkoušela, tak moje přímky a porovnání poloh průsečíků by mělo být použitelné. ↑ unknow005: zkus, prosím upřesnit, co je fixované (nebo můžeme považovat za fixované) - měla jsem za to, že to byla poloha počátečního bodu a poloha středu kružnice, ze které je oblouk.

unknow005

↑ Eratosthenes:↑ jelena:

Ano ... nakreslil jsem ten poslední obrázek špatně. bod Z je v souřadnicích [0,0].

Ok... zapojil jsem trochu mozek a vyprodukoval pár vět.

Známe toto: Vzdálenost ZK = [10, 10]
Vzdálenost ZS = [5, 5] ... (jedná se o půlkruh)

Co si spočítáme: BOD_POCATEKx = -ZSx ( pozor, nejedná se o bod Zx )
BOD_POCATEKy = -ZSy ( pozor, nejedná se o bod Zy )
BOD_KONECx = BOD_POCATEKx + ZKx ( pozor, nejedná se o bod Kx )
BOD_KONECy = BOD_POCATEKy + ZKy ( pozor, nejedná se o bod Ky )
POLOMER = vzdálenost mezi bodem [0,0] a BOD_POCATEK
POCATECNI_UHEL = úhel mezi bodem [0,0] a BOD_POCATEK
KONCOVY_UHEL = úhel mezi bodem [0,0] a BOD_KONEC (pokud by byl KONCOVY_UHEL = 0 tak se jedná o kružnici a pak bereme, že KONCOVY_UHEL je 360)

KRUHOVA_VYSEC =
a) pokud je oblouk po směru hod. ručiček:
- pokud platí (POCATECNI_UHEL < KONCOVY_UHEL) tak KRUHOVA_VYSEC = absolutní_hodnota(POCATECNI_UHEL + (360 - KONCOVY_UHEL)
- pokud platí (POCATECNI_UHEL >= KONCOVY_UHEL) tak KRUHOVA_VYSEC = absolutní_hodnota(POCATECNI_UHEL - KONCOVY_UHEL)
b) pokud je oblouk proti směru hod. ručiček:
- pokud platí (POCATECNI_UHEL < KONCOVY_UHEL) tak KRUHOVA_VYSEC = absolutní_hodnota(KONCOVY_UHEL- POCATECNI_UHEL )
- pokud platí (POCATECNI_UHEL >= KONCOVY_UHEL) tak KRUHOVA_VYSEC = absolutní_hodnota((360 - POCATECNI_UHEL) + KONCOVY_UHEL)

OBVOD = ((PI/2 * POLOMER) / 360) * KRUHOVA_VYSEC

... tak, tím jsme si spočítali snad vše co lze pro oblouk (kružnici zjistit).

Napadá už někoho co s tím? Nešlo by prostě nějak určit přes kolik kvadrantů oblouk prochází a pak spočítat bod na oblouku na všechny osy z bodu S?

Děkuji.

Honzc · 29. 09. 2015 10:56 — Editoval Honzc (29. 09. 2015 11:10)

↑ unknow005:
Jestli jsem to dobře pochopil,
máš dané souřadnice 3 bodů (začátek a konec oblouku, střed oblouku) v souřadném systému s počátkem v začátku
Začátek $Z=(0,0)$ vždy (0,0)
Konec $K=(x_{k},y_{k})$ -jenom pozor aby bod K ležel na kružnici $(x-x_{s})^{2}+(y-y_{s})^{2}=x_{s}^{2}+y_{s}^{2}$
Střed $S=(x_{s},y_{s})$

Ty potom přesuneš počátek souřadného systému do bodu S a chceš spočítat v novém souřadném systému úhel počátku a úhel konce oblouku. To jestli máš jet od počátku do konce po směru h.r. nebo proti směru h.r. už umíš zařídit nějakým příkazem programovacího jazyka.

Jestli je to tak, pak můžeš počítat takto:
Souřadnice jednotlivých bodů s počátkem v S
$S=(0,0)$
$Z=(-x_{s},-y_{s})=(x^{'}_{z},y^{'}_{z})$
$K=(x_{k}-x_{s},y_{k}-y_{s})=(x^{'}_{k},y^{'}_{k})$
Úkel počátku
$\alpha =|\text{arctg}\frac{y^{'}_{z}}{x^{'}_{z}}|$
Je-li $x^{'}_{z}=0\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}$
Podle znamének u $x^{'}_{z},y^{'}_{z}$ bude $\alpha$ : (viz tabulka)

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} x^{'}_{z} & + & + & - & -\\ y^{'}_{z} & + & - & - & +\\ \alpha & \alpha &2\pi -\alpha & \pi +\alpha & \pi -\alpha \\ \end{array}$

Úhel konce
$\beta =|\text{arctg}\frac{y^{'}_{k}}{x^{'}_{k}}|$
Je-li $x^{'}_{k}=0\Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2}$
Obdobně podle znamének u $x^{'}_{k},y^{'}_{k}$ bude $\beta$ : (viz tabulka)

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} x^{'}_{k} & + & + & - & -\\ y^{'}_{k} & + & - & - & +\\ \beta & \beta &2\pi -\beta & \pi +\beta & \pi -\beta \\ \end{array}$

unknow005 · 29. 09. 2015 14:22

↑ Honzc:

děkuji za příspěvek, ale úhly spočítat nepotřebuji, respektive jsem je spočítal v příspěvku #21 jen abych otevřel další možnosti řešení. Proto jsem si "na chvilku" převedl střed souřadného systému do bodu S. Jinak je ale třeba zachovat původní znění, kdy bod Z = [0,0] a pak podle obrázku #14 spočítat body Xmin, Xmax, Ymin, Ymax.

Honzc · 29. 09. 2015 14:33

↑ unknow005:
Pak už to vůbec nechápu. Neboť xmin,xmax, ymin, ymax ti už dávno spočítal↑ Eratosthenes: v příspěvku 16.

jelena · 29. 09. 2015 15:17 — Editoval jelena (29. 09. 2015 23:21)

↑ Honzc:

Zdravím,

kolega chce rozměry růžového rámečku ↑ příspěvek 8: (jak se tomu říká takovému označení na výkresu, podle kterého posoudíš, zda díl projde např. dveřmi (rusky габарит)? Tedy když máš např. oblouk, jehož koncový bod je za minimem kružnice po ose y (překročil dolní bod na kružnici) a nad maximem kružnice po ose x (překročil úplně vpravo bod na kružnici), tak jeho "rámeček" prochází minimem kružnice a "bočním maximem". Tedy program musí umět porovnat polohu koncového bodu s polohou středu (přesně s křížem, který středem prochází), nebo s tětivou oblouku (jak jsem měla). A brát ohled na směr točení (kladný/záporný), kterým pohybem byl oblouk vytvořen.

Tím ale, že záchytný bod je "počátek oblouku" (ne střed kružnice), tak se to o něco méně pohodlně porovnává. Musela by nastoupit vytrvalost, které se mi nedostává :-) Jak ale u vás je to prakticky řešeno? Děkuji, zdravím také bratra.

Edit: přidám to porovnání: malým písmenem budu značit x-souřadnici, velkým Y-souřadnici.
p<k<s, P>K, K<S (x1=k, x2=p, y1=K, y2=P)
p<k, k>s, k<(s+r), P<K, K>S, K<S+r (x1=p, x2=k, y1=S-r, y2=K)
a tak bych musela vypsat všechny polohy (i tady možná mám chybu, to není podstatné, s kružnici v ruce by to šlo). Ne, že by to tak nešlo, ale snad by mělo být něco úspornějšího?

Matematické Fórum

#1 25. 09. 2015 15:38

Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#2 25. 09. 2015 19:38

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#3 26. 09. 2015 01:16

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#4 26. 09. 2015 08:58

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#5 26. 09. 2015 14:55

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#6 26. 09. 2015 15:15

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#7 26. 09. 2015 18:32

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#8 26. 09. 2015 18:57

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#9 26. 09. 2015 22:08

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#10 26. 09. 2015 23:01

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

unknow005 napsal(a):

#11 26. 09. 2015 23:18

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#12 27. 09. 2015 09:53

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#13 27. 09. 2015 10:07

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#14 27. 09. 2015 12:01

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#15 27. 09. 2015 12:24

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#16 27. 09. 2015 16:48

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#17 27. 09. 2015 17:20

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

Eratosthenes napsal(a):

#18 27. 09. 2015 20:26

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#19 27. 09. 2015 21:47

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#20 27. 09. 2015 22:21

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#21 28. 09. 2015 08:33 — Editoval unknow005 (28. 09. 2015 08:34)

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#22 29. 09. 2015 10:56 — Editoval Honzc (29. 09. 2015 11:10)

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#23 29. 09. 2015 14:22

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#24 29. 09. 2015 14:33

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

#25 29. 09. 2015 15:17 — Editoval jelena (29. 09. 2015 23:21)

Re: Výpočet rozměru oblouku (kružnice) v souřadnicovém systému

Zápatí