Matematické Fórum

jannie · 11. 01. 2010 21:13

Nevím, zda to píši do správného tematu, ale mohl by mi někdo jednoduše napsat, jak poznám, že je množina spočetná a jak, že je nespočetná. Koukala jsem na to do skript, ale když jsem si zkoušela počítat příklady, tak mi to nikdy nevyšlo.

Proč je například množina
(-2,4> nespočetná?

A proč naopak množina:

N\ <-9,8) spočetná?

děkuji za reakce

mikee · 11. 01. 2010 22:01

↑ jannie:
Spocitatelna mnozina je taka, ktora sa da zoradit do postupnosti :)
Prva mnozina je interval a ziadny interval (teda az na nejake patologicke pripady, kde by interval neobsahoval ziadny prvok alebo iba jeden prvok) sa neda zoradit do postupnosti - dokaz tohto tvrdenia je pomerne zlozity (ale na druhej strane pekny), mozno ho najdes v skriptach, ale mozno aj staci ak si len zapamatas, ze intervaly (realnych cisel) su nespocitatelne mnoziny.
Ta druha mnozina nie je interval. Je to mnozina prirodzenych cisel, z ktorej "zoberieme" interval <-9,8), teda v nej budu cisla vacsie alebo rovne 8. Tato mnozina sa ale do postupnosti zoradit da: 8, 9, 10, 11, 12, ... :)
Vo vseobecnosti, spocitatelne su vsetky konecne mnoziny a okrem nich uz iba mnoziny, ktore sa daju bijektivne zobrazit na mnozinu prirodzenych cisel (napr. mnoziny prirodzenych, celych, racionalnych cisel a lubovolne ich podmnoziny).

Olin · 11. 01. 2010 23:14 — Editoval Olin (11. 01. 2010 23:17)

Nejprve bych chtěl upozornit, že terminologie není v této věci ustálená - někdy se jako spočetné množiny myslí ty, které jsou buď konečné, nebo se stejnou mohutností jako množina přirozených čísel, jindy pouze ty, které mají stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel.

Při rozhodování o mohutnostech množin se obvykle snažím ukázat, že má daná množina stejnou mohutnost jako nějaká, u které mohutnost znám. Typicky $\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}$ jsou spočetné množiny, stejně tak jejich kartézské součiny (např. $\mathbb{N}\times\mathbb{Q},\, \mathbb{Z}^8$ atd.). Oproti tomu typickými nespočetnými množinami jsou $\mathbb{R},\, \mathbb{C},\, \mathcal{P}(\mathbb{N})$ (to poslední značí množinu všech podmnožin množiny přirozených čísel), dále všechny intervaly a opět všechny možné kartézské součiny a v neposlední řadě taky např. množina všech nekonečných posloupností nul a jedniček.

Silnou zbraní je Cantor-Bernsteinova věta.