Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj,
z druhé Godelovy věty o neúplnosti plyne, že v teorii T aritmetiky existuje formule F s významem "teorie T je sporná" - a v T není možné dokázat ani F ani negaci F. (Resp. dle mého F nelze dokázat, pokud budeme předpokládat, že T není sporná, ale to předpokládejme, protože v opačném případě by celá aritmetika byla sporná, což by byla "katastrofa".) To ovšem znamená, že teorie T2, která vznikne přidáním k axiomům T formule F, není sporná. To je ovšem zajímavé - T2 (díky F) evidentně říká "T (a tedy i T2) je sporná" a přesto T2 sporná není.
Jak je to možné? Skoro to vypadá, že jediné východisko je, že T je sporná..
Offline
↑ check_drummer:
no mne sa nezda ze by nieco take vyplyvalo z druhej vety o neuplnosti - nechces to trochu rozviest?
Offline
↑ Brano:
Základem by mohlo být tvrzení, že mám-li teorii T a pokud v T nelze dokázat negaci formule F, pak si myslím, že teorie není sporná.
A já zvolím jako T teorii aritmetiky a jako F formalizaci věty "T je sporná". Podle Godelovy druhé věty o neúplnosti nelze dokázat negaci F a tedy podle bodu výše není sporná.
A další úvahy viz můj první příspěvek.
Offline
↑ check_drummer:
Ahoj,
celý problém je v tom, že směšuješ 2 druhy neúplnosti.
Jeden je ten který používáš, to znamená, že existuje model ve kterém formule je platná, a model ve kterém platná není. Pak si mohu vybrat kterou verzi přidám, a získám konzistentní teorii.
Druhý je ten o kterém mluví Goedelovo věta: formule Con(PA) (v tvém případě negace F) je sémanticky platná (pravdivá v každém modelu), ale není syntanticky dokazatelná v (Peanově) aritmetice.
Proto když přidáš F k aritmetice musíš zákonitě získat nekonzistentní teorii.
Jen poznámku. Pokud přidáš negaci F, pak sice dostaneš konzistentní teorii ve které dokážeš bezespornost aritmetiky, ale nedokážeš že tato rozšířená teorie je sama konzistentní.
Druhá poznámka: (Peanova) aritmetika je komzistentní, protože má model. Tím modelem je množina přirozených čísel.
Offline