Matematické Fórum

↑ exe263:
Dobrý den,
nejprve si ujasni, co znamená spočetná množina: Existuje injekce do množiny přirozených čísel N. Pak se znova zamysli nad jednotlivými úlohami - obvykle se spočetnost dokazuje tak, že sestrojíš nějakou injekci nebo dokonce bijekci na N.

Tak například u množiny
může takové zobrazení vypadat následovně (a tedy M je spočetná):



Takže si podle toho zkus rozmyslet u každého případu a alespoň naznačit, proč si myslíš, že ta která množina je resp. není spočetná.

exe263 napsal(a):

Tak v prvním případě bych řekl, že ano, protože množina celých čísel bez přirozených je spočetná množina.

Tento způsob argumentace zdá se mi poněkud nešťastný. Formálně je to tvrzení typu "je to tak, protože to tak je". Myšlenka je asi správná, jen kdyby to padlo u zkoušky, tak by bylo třeba to skutečně dokázat. Tedy zkonstruovat nějakou injekci na N. Vřele doporučuji zkusit si jako cvičení. (a ano Z\N je spočetná)

exe263 napsal(a):

Druhý případ jsem přehodnotil, protože po odebrání celých čísel z realných zbyte část realných a o nich nemužeme říct že jsou spočetná množina.

V zásadě správný argument. Tedy pokud ta úvaha vychází ze znalosti toho, že R je nespočetná množina, N je spočetná a z poznatku, že sjednocení dvou spočetných množin je množina spočetná.

exe263 napsal(a):

Jediné u čeho si ted nevím rady je čtvrtý připad (sinus). pouze odhaduji a řekl bych, že tato množina patří do množin spočetných.

Tady je důkaz jen lehce "trikový". Předpokládejte např. množinu , ta jistě bude konečná. Podobně např. množina   je konečná. Bude v tom hrát roli násobek periody. Zkuste se nad tím zamyslet. (Tato množina je ohraničená, ale je nekonečná - spočetná)

Jako cvičení si rozhodně zkuste sestrojit i injekci ze Z do N. Možná vám to ukazovali na přednášce nebo to máte ve skriptech - je to sice do jisté míry pracnější, ale je to takový hezký způsob, jak si uvědomit podsatu řady důkazů spočetnosti. Úspornější je uvědomit si, že Z je vlastně sjednocení dvou spočetných množit (kladná a záporná čísla) a nuly.