Matematické Fórum

Ahoj,
nazvěme reálné číslo "definovatelné", pokud jej lze popsat konečnou formulí (např. součet jisté řady, apod.) Jelikož takových formulí je jen spočetně mnoho (a reálných čísel je nespočetně mnoho), tak existují nedefinovatelná čísla. Předpokládáme-li axiom výběru, pak množinu reálných čísel lze dobře upořádat a tedy množina všech nedefinovatelných čísel má nejmenší prvek - označme jej r. Pak jsme ovšem konečnou foormulí (předchozí větou) definovali nedefinovatelné reálné číslo - což je spor. Jak tento spor vysvětlit?

Nejsem si jist, zda je korektní argument použít to, že jsme nepoužili pro definici r formuli, ale "metaformuli", protože dle mého se ta "metaformule" definující r dá formalizovat v teorii množin (resp. Peanově aritmetice), podobně jako Godel formalizoval různá tvrzení o aritmetice v samotném formálním systému aritmetiky.

(Podobný paradox se týká podmnožiny přirozených čísel "definovatelných pomocí nejvýše 100 znaků" (místo 100 lze volit jinou pevnou konstantu.). Podobným případem jako výše přijdeme opět ke sporu.)