Matematické Fórum

freename · 06. 10. 2015 19:30

Dobrý den,

rád bych poprosil o radu ohledně výpočtu délky nejspíš rovinné křivky. Mám zadanou pouze celkovou délku 20cm, výšku 1cm a rozteč 4 na 1 cm (dá se nejspíš chápat i jako stoupání nebo vzdálenost mezi jednotlivými oblouky).

Vše je znázorněno na obrázku: //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/52341_Hemming%2BSealer.png

Upřímně.., nejsem vůbec matematik. Našel jsem sice něco k této problematice, ale já se v tom fakt nevyznám.

Měli byste prosím nějaké jednoduché řešení, jak toto rozluštit?

Děkuji moc za rady..

Honzc · 07. 10. 2015 12:07 — Editoval Honzc (10. 10. 2015 12:33)

↑ freename:
Podle mě se musí jednat o šroubovici (3D-křivka)
Pokud by to měla být rovinná křivka pak by se mohlo jednat o nepovedenou prodloženou cykloidu přibližně o parametrických rovnicích
$x=0.0935t-\sin t\\ y=0.5\cos t-0.0935\\ t\in \langle-31.16\pi ,33.16\pi \rangle$
U takto definované křivky by výpočet délky vedl na eliptický integrál

Budeme tedy předpokládat, že se jedná o zobrazení šroubovice, která má parametrické vyjádření (jeden závit):
$x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ z=\frac{s}{2\pi }t\\ t\in \langle0 ,2\pi \rangle$
kde $r=\text{poloměr vepsaného válce}\\ s=\text{stoupání šroubovice}$
Pro náš případ:
počet závitů (napočítal jsem) 32
poloměr vepsaného válce 1/2=0.5 cm
stoupání šroubovice 20/32=5/8 cm

Délka závitu šroubovice se spočítá ze vzorce (délka je (z rozvinu) přeponou pravoúhlého trojúhelníka o stranách 2Pir a s)
Tedy $l_{1}=\sqrt{(2\pi r)^{2}+s^{2}}$
Stejný vzorec lze jednoduše odvodit i pomocí integrálního počtu (délka prostorové křivky zadané parametricky)
Tady je obrázek stejný jako ten nahoře vyjma kót
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/73009_cykl02.png
Délku křivky si můžeš ověřit Zde
Je stejná jako délka šroubovice $l\approx 102.501cm$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

freename · 07. 10. 2015 13:26

Fyzicky jde primo o krivku, ktera je v rovine a ne ve 3D, takze tak jak je uvedeno na obrazku, tak to vypada. Jde tedy i v tomto pripade o tentyz vypocet?

Honzc · 07. 10. 2015 13:55

↑ freename:
Odkud víš, že je to rovinná křivka? (Je to nějaký příklad, můžeš dát kompletní zadání)
Jestli je to rovinná křivka, pak se podle mě musí skládat z více oblouků (i když o tom mám velké pochybnosti, že jsou to oblouky)
Výpočet tak jak jsem jej napsal platí pro šroubovici a tedy pro tuto "pakřivku" platit samozřejmě nebude.

Rumburak · 07. 10. 2015 14:27

↑ freename:

Ahoj.

Jen tak "od oka" mne napadá možný parametrický popis:

$x = r \cos t + at, y = r \sin t$ , kde $t$ probíhá nějaký vhodný interval.

Jak vypadá oriiginál zadání?

freename · 07. 10. 2015 14:41

↑ Honzc:Nevím..jen se domýšlím. Tak jak je to nakresleno i s tím popisem, je to vše co mam.

freename · 07. 10. 2015 14:43

↑ Rumburak:Veškeré zadání je právě v mém úvodním příspěvku. Je to přesně jako bych tužkou na papír kreslil obloučky jeden přes druhý. Jaká je pak délka toho co nakreslím...

freename · 07. 10. 2015 21:18

Ještě mě tak napadá, že se nepočítá s počtem závitů. Je zadána jen konečná délka, jakoby onen průměr a počet či vzdálenost mezi jednotlivými oblouky.

Honzc napsal(a):
↑ freename:
Podle mě se musí jednat o šroubovici (3D-křivka)
Pokud by to měla být rovinná křivka pak by se mohlo jednat o nepovedenou prodloženou cykloidu přibližně o parametrických rovnicích
$x=0.0935t-\sin t\\ y=0.5\cos t-0.0935\\ t\in \langle-31.16\pi ,33.16\pi \rangle$
U takto definované křivky by výpočet délky vedl na eliptický integrál

Budeme tedy předpokládat, že se jedná o zobrazení šroubovice, která má parametrické vyjádření (jeden závit):
$x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ z=\frac{s}{2\pi }t\\ t\in \langle0 ,2\pi \rangle$
kde $r=\text{poloměr vepsaného válce}\\ s=\text{stoupání šroubovice}$
Pro náš případ:
počet závitů (napočítal jsem) 32
poloměr vepsaného válce 1/2=0.5 cm
stoupání šroubovice 20/32=5/8 cm

Délka závitu šroubovice se spočítá ze vzorce (délka je (z rozvinu) přeponou pravoúhlého trojúhelníka o stranách 2Pir a s)
Tedy $l_{1}=\sqrt{(2\pi r)^{2}+s^{2}}$
Stejný vzorec lze jednoduše odvodit i pomocí integrálního počtu (délka prostorové křivky zadané parametricky)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!
Skrytý text:

Mělo by ti vyjít $l\approx 102.501cm$

Eratosthenes

ahoj ↑ freename:

>> Podle mě se musí jednat o šroubovici (3D-křivka)

Není to 3D křivka, to by k popisu nestačila vodorovná a svislá kóta. Pokud to má mít něco společného se šroubovicí, pak je to axonometrický průmět šroubovice (což je 2D křivka).

>> Pokud by to měla být rovinná křivka pak by se mohlo jednat o nepovedenou prodloženou cykloidu

... a průmětem šroubovice je právě cykloida - prostá, zkrácená nebo - jako v tomto případě prodloužená. Ovšem máš pravdu, že je značně nepovedená - její smyčka je téměř na sto procent přesná kružnice:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/53383_sroub.png

což je určitě špatně. Takto ten průmět vypadat nemůže. Takže bych se spíš přiklonil k názoru kolegy ↑ Rumburak:. Parametry t, a, lze sice z obrázku více či méně přesně odměřit, ale úplné zadání by určitě bodlo...

Honzc · 08. 10. 2015 14:30 — Editoval Honzc (08. 10. 2015 14:34)

↑ freename:
Tak naposledy.
1. Problém obrázku spočívá v tom, že nejsou stejná měřítka na ose x a y. (ve skutečnosti oblouky nebudou skoro kružnice ale "elipsy")
2. Pokud je to opravdu rovinná křivka, pak se jedná o trochu zmutovanou prodlouženou cykloidu (jak jsem už psal dříve), stále si však myslím, že to je pohed na 3D-křivku a to šroubovici.
Teď k k rovnici a výpočtu
Rovnice je na obrázku níže:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Že se jedná přibližně o to co je nakresleno na tvém obrázku se můžeš přesvědčit na:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Eratosthenes · 08. 10. 2015 16:01

↑ Honzc:

já jenom aby bylo úplně jasno: "pohled na šroubovici" a prodloužená cykloida je jedna a tatáž křivka. A to, zda na osách jsou stejná či různá měřítka (tj. zda ta smyčka je kružnice, anebo elipsa) je principiálně úplně jedno. Pokud to tak totiž je, nemůže to být "pohled na 3D šroubovici" (= prodloužená cykloida), leda opravdu pořádně zmutovaná...

Honzc · 11. 10. 2015 11:44

↑ Eratosthenes:
Tak aby bylo úplně jasno i mně.
Já se stebou nehádám, že pohled na šroubovici je mějaká cykloida.
Ovšem předložený obrázek je naprosto matoucí. Hlavně kóty 20 cm, a jeho detail, že křivka má 5 stoupání ("závitů") na 1 cm.
To totiž není pravda. (jestliže spočítáme to, co je naorázku, pak by stoupání muselo být 35/20)
Já jsem do svého příspěvku č.2 vložil obrázek,který vypadá "přesně"tak, jak je ten v zadání. (pouze bez kót)
Pak stoupání není ani 4 ani 5 závitů na 1 cm ale přesně 4.35/cm.
Její délka je pak opět 102.5 cm (jak je možné se přesvědčit v odkazu)
Tedy závěr:
1.Úloha je špatně zadaná-obrázek neodpovídající ( hlavně kóty 20 cm a stoupání)
2.Kóta 20 cm podle mě odkazuje na to, že se jedná o pohled na šroubovici s průměrem 1 cm a celkovou "výškou" 20 cm při 32 závitech
3.Délky popsané šroubovice a mnou interpretované rovinné křivky (viz.doplněný příspěvek č.2) jsou stejné a to 102.501 cm.

freename

- obrázek co jsem vložil byl jen ilustrativní pro představu, rozměry apod. však sedí, a proto zadání není chybné
- kóta 20 je jen délkový údaj, který měl přiblížit výpočet k této vzdálenosti. Mohlo tam být jakékoliv jiné číslo
- to, jestli jde o šroubovici, křivku nebo cokoliv jiného nechám na odbornících. Když si zkrátka vezmu zdobítko na cukroví a budu s ním z leva do prava projíždět po buchtě a dělat malé kruhy, tak zkrátka vznikne tvar, jehož parametry jsem chtěl vypočíst
- a poslední věc...ve výpočtu nelze počístat s vizuálním odpočtem kružnic na jeden cm. Zkrátka jsou k dispozici pouze a jen údaje, které jsem zadal + tvar, který byl uveden výše.

Honzc napsal(a):
↑ Eratosthenes:
Tak aby bylo úplně jasno i mně.
Já se stebou nehádám, že pohled na šroubovici je mějaká cykloida.
Ovšem předložený obrázek je naprosto matoucí. Hlavně kóty 20 cm, a jeho detail, že křivka má 5 stoupání ("závitů") na 1 cm.
To totiž není pravda. (jestliže spočítáme to, co je naorázku, pak by stoupání muselo být 35/20)
Já jsem do svého příspěvku č.2 vložil obrázek,který vypadá "přesně"tak, jak je ten v zadání. (pouze bez kót)
Pak stoupání není ani 4 ani 5 závitů na 1 cm ale přesně 4.35/cm.
Její délka je pak opět 102.5 cm (jak je možné se přesvědčit v odkazu)
Tedy závěr:
1.Úloha je špatně zadaná-obrázek neodpovídající ( hlavně kóty 20 cm a stoupání)
2.Kóta 20 cm podle mě odkazuje na to, že se jedná o pohled na šroubovici s průměrem 1 cm a celkovou "výškou" 20 cm při 32 závitech
3.Délky popsané šroubovice a mnou interpretované rovinné křivky (viz.doplněný příspěvek č.2) jsou stejné a to 102.501 cm.

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2015 19:30

Výpočet délky rovinné křivky..?

#2 07. 10. 2015 12:07 — Editoval Honzc (10. 10. 2015 12:33)

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#3 07. 10. 2015 13:26

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#4 07. 10. 2015 13:55

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#5 07. 10. 2015 14:27

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#6 07. 10. 2015 14:41

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#7 07. 10. 2015 14:43

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#8 07. 10. 2015 21:18

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

Honzc napsal(a):

#9 07. 10. 2015 23:36 — Editoval Eratosthenes (07. 10. 2015 23:37)

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#10 08. 10. 2015 14:30 — Editoval Honzc (08. 10. 2015 14:34)

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#11 08. 10. 2015 16:01

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#12 11. 10. 2015 11:44

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

#13 18. 12. 2015 21:55 — Editoval freename (18. 12. 2015 21:56)

Re: Výpočet délky rovinné křivky..?

Honzc napsal(a):

Zápatí